محاضرة 4 / الأشتقاق الضمني + مشتقات الدوال المثلثية

الاشتقاق الضمني (Implicit Differentiation) هو طريقة في الرياضيات تُستخدم لإيجاد مشتقة دالة معرّفة ضمنياً، أي أن العلاقة بين $x$ و $y$ تكون مكتوبة بشكل غير مباشر (ضمني)، وليس بشكل واضح وصريح مثل $y=f(x)$.

متى نستخدم الاشتقاق الضمني؟

نستخدمه عندما تكون الدالة في شكل علاقة بين $x$ و $y$، مثل:

$$x^2 + y^2 = 25$$

هنا العلاقة ضمنية؛ لا يظهر $y$ وحده بشكل صريح.

خطوات الاشتقاق الضمني:

1. اشتق كل الحدود في المعادلة بالنسبة لـ $x$، وتذكر أن $y$ هو دالة لـ $x$، لذا اشتقاقه بالنسبة لـ $x$ هو $\frac{dy}{dx}$.
2. عند اشتقاق $y$ نستخدم قاعدة السلسلة:

$$\frac{d}{dx}(y^n)=n y^{n-1}\frac{dy}{dx}$$

3. اجمع الحدود التي تحوي $\frac{dy}{dx}$ على طرف واحد.
4. حل المعادلة الناتجة لإيجاد $\frac{dy}{dx}$.

مثال تطبيقي:

اوجد $\frac{dy}{dx}$ إذا كانت:

$$x^2 + y^2 = 25$$

الحل:

نشتق المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى $x$:

• اشتقاق $x^2$ هو $2x$.
• اشتقاق $y^2$ بالنسبة لـ $x$ هو $2y\frac{dy}{dx}$، لأننا نستخدم قاعدة السلسلة.
• اشتقاق العدد الثابت $25$ هو $0$.

بالتالي:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

نعزل $\frac{dy}{dx}$:

$$2y\frac{dy}{dx} = -2x$$

نقسم الطرفين على $2y$:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

وهكذا وجدنا المشتقة باستخدام الاشتقاق الضمني:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

ملخص الفكرة بشكل مبسط:

• اشتق المعادلة بالنسبة إلى $x$.
• عزل المشتقة $\frac{dy}{dx}$.

هذا هو مفهوم الاشتقاق الضمني.

اسئلة

السؤال هو:

جد $\frac{dy}{dx}$ لكل مما يأتي:
$y^2 = 16x$

الحل خطوة بخطوة:

المعادلة المُعطاة:

$$y^2 = 16x$$

نقوم باشتقاق الطرفين ضمنياً بالنسبة لـ $x$:

1. اشتقاق الطرف الأيمن $y^2$ يكون:

$$2y \frac{dy}{dx}$$

2. اشتقاق الطرف الأيسر $16x$ يكون:

$$16$$

بالتالي تصبح المعادلة بعد الاشتقاق:

$$2y \frac{dy}{dx} = 16$$

نعزل $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{16}{2y}$$

نختصر:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}$$

إذن الحل النهائي هو:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{8}{y}}}$$

السؤال هو:

$$x^2 + y^2 = 9$$

، المعادلة هي:

$$x^2 + y^2 = 5$$

المطلوب إيجاد $\frac{dy}{dx}$ باستخدام الاشتقاق الضمني.

الحل خطوة بخطوة:

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة لـ $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(5)$$

• اشتقاق $x^2$ هو $2x$.
• اشتقاق $y^2$ هو $2y\frac{dy}{dx}$ لأننا نشتق ضمنيًا.
• اشتقاق الثابت $5$ هو $0$.

تصبح المعادلة بعد الاشتقاق:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

نعزل $\frac{dy}{dx}$:

$$2y\frac{dy}{dx} = -2x$$

نقسم على $2y$:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

الحل النهائي:

$$\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}}$$

$$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}}$$