تحويل الإحداثيات الكارتيزية إلى قطبية والكميات الفيزيائية (القياسية والمتجهة)

أولًا: تحويل الإحداثيات من الكارتيزية إلى القطبية

🔶 تعريف:

الإحداثيات الكارتيزية: هي التي تُعبر عن موقع نقطة في الفضاء ثنائي الأبعاد باستخدام المحورين (X، Y).
الإحداثيات القطبية: تعبر عن نفس النقطة باستخدام نصف القطر $r$ والزاوية $\theta$ التي تصنعها النقطة مع المحور X الموجب.

🔹 صيغة التحويل:

لتحويل الإحداثيات من النظام الكارتيزي (x, y) إلى النظام القطبي (r, θ):

1. إيجاد $r$:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

2. إيجاد الزاوية $\theta$ (أو $\tan^{-1}(y/x)$):

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

ملاحظة مهمة: يجب تحديد الربع الذي تقع فيه النقطة لأن ذلك يؤثر على الزاوية:

• إذا كانت $x < 0$ و$y < 0$ ⇒ النقطة في الربع الثالث ⇒ نضيف 180° إلى الزاوية.

🧮 مثال تطبيقي:

إذا كانت النقطة في الإحداثيات الكارتيزية:

$$x = -3.5 \quad , \quad y = -2.5$$

1. نحسب $r$:

$$r = \sqrt{(-3.5)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{12.25 + 6.25} = \sqrt{18.5} \approx 4.3$$

2. نحسب الزاوية $\theta$:

$$\tan(\theta) = \frac{2.5}{3.5} = 0.714 \Rightarrow \theta \approx 35.5°$$

لكن بما أن النقطة في الربع الثالث، نضيف 180°:

$$\theta = 180 + 35.5 = 215.5°$$

✅ إذاً، الإحداثيات القطبية للنقطة هي:

$$(r, \theta) = (4.3 , 215.5°)$$

ثانيًا: الكميات الفيزيائية – قياسية ومتجهة

🔶 تعريف:

في الفيزياء، تنقسم الكميات إلى نوعين أساسيين:

1. الكمية القياسية (Scalar Quantity):

تعريف: هي الكمية التي تُحدد بمقدار فقط ولا تحتاج إلى اتجاه.

🔹 أمثلة:

• الكتلة (kg)
• الزمن (s)
• درجة الحرارة (°C)
• الطاقة (J)
• الحجم (m³)

✳️ تعريف وزاري:

الكمية القياسية: هي الكمية التي يتم تحديدها بذكر مقدارها فقط ووحدة قياسها، ولا تحتاج إلى اتجاه.

2. الكمية المتجهة (Vector Quantity):

تعريف: هي الكمية التي تُحدد بذكر مقدارها واتجاهها ووحدة قياسها.

🔹 أمثلة:

• السرعة (متر/ثانية)
• القوة (نيوتن)
• الإزاحة (متر)
• التعجيل (متر/ثانية²)

✳️ تعريف وزاري:

الكمية المتجهة: هي الكمية التي يتم تحديدها بذكر مقدارها، اتجاهها، ووحدة قياسها.

🔺 معلومة مهمة:

يتم تمييز الكمية المتجهة في الرموز بوضع سهم صغير فوق الرمز (→) مثل:

$$\vec{F}, \quad \vec{v}, \quad \vec{a}$$

ثالثًا: الفروق بين الكميات القياسية والمتجهة

رابعًا: تمثيل الكمية المتجهة بالرسم البياني

يتم تمثيل المتجه باستخدام سهم له:

1. نقطة بداية: تمثل نقطة تأثير المتجه.
2. اتجاه السهم: يمثل اتجاه الكمية المتجهة.
3. طول السهم: يتناسب مع مقدار المتجه.

🎓 مثال تطبيقي:

• متجه قوة مقداره 3 نيوتن باتجاه الغرب:
  • بالرسم، نرسم سهمًا من اليمين إلى اليسار بطول مناسب، ونكتب:

  $$\vec{F} = 3 \, \text{N}$$

• متجه سرعة مقداره 5 m/s يصنع زاوية 37° مع الغرب:
  • بالرسم، نرسم سهم مائل بزاوية 37° من الغرب باتجاه الشمال.

خامسًا: سؤال تطبيقي

سؤال:
جسم يتحرك بسرعة مقدارها 5 m/s بزاوية 37° باتجاه الشمال الغربي، عبر عن هذه السرعة:

🔹 رياضيًا:

$$|\vec{v}| = 5 \, \text{m/s} \quad , \quad \theta = 37°$$

🔹 بيانيًا:

• نرسم سهم من نقطة الأصل بطول معين يمثل 5 m/s.
• نوجه السهم بزاوية 37° نحو الشمال الغربي.

سادسًا: أسئلة وأجوبة مهمة

❓س: ما الفرق بين الإزاحة والمسافة؟

ج:

• المسافة: كمية قياسية تمثل طول المسار الذي قطعه الجسم.
• الإزاحة: كمية متجهة تمثل التغير الكلي في موقع الجسم مع الاتجاه.

❓س: لماذا لا تكون درجة الحرارة كمية متجهة؟

ج: لأنها تُحدد بمقدار فقط ولا تحتاج إلى اتجاه.

❓س: هل يمكن أن تكون القوة سالبة؟

ج: لا، لأن القوة كمية متجهة، ولكن اتجاهها هو الذي يُحدد وليس إشارتها السالبة، لذا تُكتب بالمطلق.

خلاصة الدرس:

• الإحداثيات الكارتيزية تعتمد على X وY، بينما القطبية تعتمد على $r$ و $\theta$.
• الكميات الفيزيائية تقسم إلى قياسية ومتجهة.
• الكميات المتجهة لها مقدار واتجاه ووحدة قياس.
• الزاوية في الإحداثيات تعتمد على ربع الموقع.
• التمثيل البياني للمتجه يعتمد على نقطة البداية، الاتجاه، والطول.

هل ترغب أن أضيف مخطط تلخيصي للفرق بين الكميات القياسية والمتجهة بصريًا؟