ضرب المتجهات (القياسي والاتجاهي) – فيزياء الخامس العلمي

في عالم الفيزياء، لا يُكتفى بمعرفة مقدار واتجاه المتجه، بل يتطلب التعامل مع عمليات رياضية على المتجهات، ومن أهمها ضرب المتجهات. يُقسم ضرب المتجهات إلى نوعين رئيسيين:

1. الضرب القياسي (النقطي)
2. الضرب الاتجاهي (المتجهي)

أولًا: الضرب القياسي (النقطي)

🔷 التعريف:

الضرب القياسي هو عملية ضرب كميتين متجهتين، ويكون ناتج الضرب كمية قياسية.

✅ تعريف مختصر:
“هو عملية ضرب متجه في متجه آخر والناتج كمية قياسية (بدون اتجاه).”

🔷 القانون:

$$A \cdot B = |A| \cdot |B| \cdot \cos(\theta)$$

حيث:

• $A$ و$B$ هما المتجهان.
• $|A|$ و$|B|$ هما مقداري المتجهين.
• $\theta$ هي الزاوية بين المتجهين.
• نستخدم رمز النقطة (⋅) لتمييز الضرب القياسي.

🔷 مثال واقعي – الشغل:

عندما تؤثر قوة $F$ على جسم وتُحدث إزاحة $x$، فإن:

$$\text{الشغل} (W) = \vec{F} \cdot \vec{x} = |F| \cdot |x| \cdot \cos(\theta)$$

• القوة كمية متجهة
• الإزاحة كمية متجهة
• الشغل كمية قياسية

🔷 مثال تطبيقي:

المعطيات:

• $F = 40 \, \text{N}$
• $x = 10 \, \text{m}$
• $\theta = 37^\circ$
• $\cos(37^\circ) = \frac{4}{5}$

المطلوب: احسب الشغل.

الحل:

$$W = 40 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 400 \cdot \frac{4}{5} = 320 \, \text{J}$$

📌 الوحدة: جول (J)

✅ أسئلة متوقعة:

• س/ ماذا ينتج عن ضرب متجهين ضربًا قياسيًا؟
  ج/ كمية قياسية.
• س/ ما القانون المستخدم في الضرب القياسي؟
  ج/ $A \cdot B = |A||B| \cos(\theta)$
• س/ هل الشغل كمية متجهة؟
  ج/ لا، هو كمية قياسية ناتجة من ضرب نقطي.

ثانيًا: الضرب الاتجاهي (المتجهي)

🔷 التعريف:

الضرب الاتجاهي هو عملية ضرب متجه في متجه آخر، ويكون ناتج الضرب كمية متجهة.

✅ تعريف مختصر:
“هو عملية ضرب متجهين والناتج متجه ثالث يكون عموديًا على المستوى الذي يحتوي المتجهين الأصليين.”

🔷 القانون:

$$A \times B = |A| \cdot |B| \cdot \sin(\theta) \cdot \hat{n}$$

حيث:

• $\times$ تشير إلى الضرب الاتجاهي.
• $\hat{n}$ هو متجه الوحدة العمودي على المتجهين $A$ و$B$.
• نستخدم رمز الضرب X للتمييز عن الضرب القياسي.

🔷 ملاحظة:

• نستخدم جيب الزاوية (sin) في الضرب الاتجاهي.
• الناتج يكون متجهًا وليس مقدارًا فقط.
• يمثل الضرب الاتجاهي بشكل نموذجي في حساب العزم (torque).

🔷 مثال واقعي – العزم:

المعطيات:

• قوة $F = 150 \, \text{N}$
• ذراع العتلة $x = 5 \, \text{m}$
• الزاوية بين القوة والذراع $\theta = 30^\circ$
• $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

الحل:

$$\tau = |F| \cdot |x| \cdot \sin(\theta) = 150 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 375 \, \text{Nm}$$

📌 الوحدة: نيوتن.متر (Nm)

✅ أسئلة متوقعة:

• س/ ماذا ينتج عن ضرب متجهين ضربًا اتجاهيًا؟
  ج/ كمية متجهة عمودية على المتجهين الأصليين.
• س/ ما القانون المستخدم في الضرب الاتجاهي؟
  ج/ $A \times B = |A||B| \sin(\theta)$
• س/ ما الفرق بين الضرب القياسي والاتجاهي؟

خلاصة القوانين:

ملخص نهائي بصيغة سؤال وجواب:

• ما هو الشغل؟
  الشغل هو ناتج ضرب متجه القوة في متجه الإزاحة ضربًا قياسيًا.
• ما هو العزم؟
  العزم هو ناتج ضرب متجه القوة في ذراع العتلة ضربًا اتجاهيًا.
• هل الشغل يحتوي على اتجاه؟
  لا، هو كمية قياسية.
• هل العزم يحتوي على اتجاه؟
  نعم، هو كمية متجهة ويكون عموديًا على مستوى القوة والإزاحة.

توصية للطلبة:

✅ احفظ القوانين التالية:

1. $A \cdot B = |A||B|\cos(\theta)$
2. $A \times B = |A||B|\sin(\theta)$
3. $W = F \cdot x \cdot \cos(\theta)$
4. $\tau = F \cdot x \cdot \sin(\theta)$

📌 دوّن دائمًا الوحدات (جول – نيوتن.متر) في نهاية كل مسألة.