المساحات إيجاد المساحة بين المنحنيين / محاضرة 31

إيجاد المساحة بين المنحنيين
(الدوال المثلثية) – امثلة الاسئلة الوزارية

السؤال :

جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين
$F(x) = \sin 2x$ و $g(x) = \sin x$
وعلى الفترة $\left[0, \frac{\pi}{2} \right]$.

خطوات حل المسألة: إيجاد المساحة المحددة بين منحني الدالتين

$F(x) = \sin 2x$ و $g(x) = \sin x$
في الفترة $[0, \frac{\pi}{2}]$

الخطوة 1: إيجاد نقاط التقاطع بين الدالتين

لحساب المساحة، نحتاج إلى معرفة متى تكون الدالتان متساويتين، أي حل المعادلة:

$$\sin 2x = \sin x$$

نستخدم متطابقة ضعف الزاوية:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

وبالتالي تصبح المعادلة:

$$2 \sin x \cos x = \sin x$$

نحلل المعادلة:

$$\sin x (2 \cos x – 1) = 0$$

أي أن:

1. $\sin x = 0$ → $x = 0$
2. $2 \cos x – 1 = 0$ → $\cos x = \frac{1}{2}$
   • من جدول القيم المثلثية، نجد أن $x = \frac{\pi}{3}$ في الفترة المطلوبة.

إذن، نقاط التقاطع في الفترة $[0, \frac{\pi}{2}]$ هي:

$$x = 0 \quad \text{و} \quad x = \frac{\pi}{3}$$

الخطوة 2: تقسيم التكامل إلى جزأين

المساحة تُحسب باستخدام التكامل المحدد لمقدار الفرق بين الدالتين:

$$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin x – \sin 2x) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x – \sin x) dx$$

حيث نأخذ الفرق بناءً على أي الدالتين تكون الأعلى في كل فترة:

• في $[0, \frac{\pi}{3}]$ يكون $\sin x > \sin 2x$.
• في $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ يكون $\sin 2x > \sin x$.

الخطوة 3: حساب التكامل لكل جزء

1. التكامل الأول: $\int (\sin x – \sin 2x) dx$

$$\int \sin x dx = -\cos x$$ $$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x$$

إذن:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin x – \sin 2x) dx = \left[ -\cos x + \frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$

بحساب القيم عند $x = \frac{\pi}{3}$ و $x = 0$، نحصل على:

$$\left( -\cos \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cos \frac{2\pi}{3} \right) – \left( -\cos 0 + \frac{1}{2} \cos 0 \right)$$ $$\left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right) \right) – \left( -1 + \frac{1}{2} \times 1 \right)$$ $$\left( -\frac{1}{2} – \frac{1}{4} \right) – \left( -1 + \frac{1}{2} \right)$$ $$-\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$

2. التكامل الثاني: $\int (\sin 2x – \sin x) dx$

بنفس الطريقة:

$$\int_{ \frac{\pi}{3} }^{ \frac{\pi}{2} } (\sin 2x – \sin x) dx = \left[ -\cos x + \frac{1}{2} \cos 2x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$$

بعد حساب القيم، نجد أن النتيجة هي $\frac{3}{4}$.

الخطوة 4: حساب المساحة النهائية

$$A = \left| -\frac{1}{4} \right| + \left| \frac{3}{4} \right|$$ $$A = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 0.5$$

إذن، المساحة المحصورة بين المنحنيين هي $0.5$ وحدة مربعة.

ملخص الحل

1. وجدنا نقاط التقاطع عند $x = 0$ و $x = \frac{\pi}{3}$.
2. قسمنا التكامل إلى جزأين حسب ترتيب المنحنيين.
3. حسبنا كل تكامل بشكل منفصل.
4. جمعنا القيم المطلقة للحصول على المساحة الكلية $0.5$.

هذا هو الرسم البياني لمنحنيي $y = \sin 2x$ (باللون الأزرق) و $y = \sin x$ (باللون الأحمر) على الفترة $[0, \frac{\pi}{2}]$.

• تم تظليل المساحة بين المنحنيين (بالعتمة الرمادية) والتي تمثل المساحة المطلوبة.
• النقاط السوداء تمثل نقاط التقاطع عند $x = 0$، $x = \frac{\pi}{3}$، و $x = \frac{\pi}{2}$.

السؤال الوزاري:

جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين
$y = \sin^2 x$ و $y = \sin x$
وعلى الفترة $\left[0, \frac{\pi}{2} \right]$.

خطوات حل المسألة: إيجاد المساحة المحددة بين منحني الدالتين

$y = \sin^2 x$ و $y = \sin x$
على الفترة $[0, \frac{\pi}{2}]$

الخطوة 1: إيجاد نقاط التقاطع بين الدالتين

لحساب المساحة، نحتاج إلى معرفة متى تتساوى الدالتان، أي حل المعادلة:

$$\sin^2 x = \sin x$$

نرتب المعادلة:

$$\sin^2 x – \sin x = 0$$

نقوم بإخراج العامل المشترك:

$$\sin x (\sin x – 1) = 0$$

إذن لدينا حلّان:

1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0$
2. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$

إذن، نقاط التقاطع في الفترة $[0, \frac{\pi}{2}]$ هي:

$$x = 0 \quad \text{و} \quad x = \frac{\pi}{2}$$

الخطوة 2: تحديد الدالة العلوية والسفلية

لإيجاد المساحة، يجب معرفة أي الدالتين تقع فوق الأخرى في الفترة $[0, \frac{\pi}{2}]$.

• نلاحظ أن $\sin x \geq \sin^2 x$ لأن $0 \leq \sin x \leq 1$ وبالتالي $\sin^2 x$ أصغر أو يساوي $\sin x$.

إذن، التكامل يكون على الفرق بين الدالتين:

$$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x – \sin^2 x) dx$$

الخطوة 3: حساب التكامل

تبسيط التكامل

نستخدم المتطابقة المثلثية:

$$\sin^2 x = 1 – \cos^2 x$$

وبالتالي يصبح التكامل:

$$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x – (1 – \cos^2 x) \, dx$$ $$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x – 1 + \cos^2 x) \, dx$$ $$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx$$

حساب التكاملات الثلاثة:

1. $\int \sin x \, dx = -\cos x$

   $$\left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = -0 + 1 = 1$$

2. $\int 1 \, dx = x$

   $$\left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} – 0 = \frac{\pi}{2}$$

3. $\int \cos^2 x \, dx$
   نستخدم المتطابقة $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:

   $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx$$ $$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx$$نحسب كل جزء:

   $$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \times \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ $$= \frac{1}{2} \times \left( \frac{\sin \pi}{2} – \frac{\sin 0}{2} \right) = \frac{1}{2} \times 0 = 0$$إذن:

   $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx = \frac{\pi}{4}$$

الخطوة 4: حساب المساحة النهائية

$$A = 1 – \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$$ $$A = 1 – \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4}$$ $$A = 1 – \frac{\pi}{4}$$ $$A \approx 1 – 0.785 = 0.215$$

إذن، المساحة المحصورة بين المنحنيين تساوي $1 – \frac{\pi}{4}$ أو تقريبًا 0.215 وحدة مربعة.

ملخص الحل

1. إيجاد نقاط التقاطع عند $x = 0$ و $x = \frac{\pi}{2}$.
2. تحديد الدالة العلوية والسفلية ($y = \sin x$ أعلى من $y = \sin^2 x$).
3. إعداد التكامل: $$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x – \sin^2 x) dx$$
4. حساب التكاملات الفرعية للحصول على النتيجة: $$A = 1 – \frac{\pi}{4} \approx 0.215$$

الرسم البياني

هذا هو الرسم البياني لمنحنيي $y = \sin x$ (باللون الأحمر) و $y = \sin^2 x$ (باللون الأزرق) على الفترة $[0, \frac{\pi}{2}]$.

• المنطقة المظللة باللون الرمادي تمثل المساحة المحصورة بين المنحنيين، وهي المساحة المطلوبة في المسألة.
• النقاط السوداء تمثل نقاط التقاطع عند $x = 0$ و $x = \frac{\pi}{2}$.