الاقواس / محاضرة 6

تناولت هذه المحاضرة موضوع الأقواس في مادة الرياضيات للصف السادس العلمي وفق المنهج الجديد لعام 2025. يعتبر هذا الموضوع أحد المفاهيم الأساسية التي تتكرر بكثرة في الامتحانات الوزارية، حيث تبدأ الأسئلة الوزارية من محاضرة 6 حتى نهاية الفصل، مما يجعل فهمه ضروريًا لتحقيق درجات عالية.

أهمية الموضوع

• الأقواس جزء أساسي من المعادلات الرياضية، ويجب على الطلاب إتقان طرق تبسيطها وحلها بدقة.
• يغطي الدرس أنواعًا مختلفة من العمليات على الأقواس، بما في ذلك:
  1. القوس التربيعي
     $(x + y)^2$ 
  2. القوس التكعيبي
     $(x + y)^3$ 
  3. القوس ذو الأسس الكبيرة
     $(x + y)^n$ 

     عندما يكون

     $n \geq 4$ 

المحاور الأساسية في المحاضرة

1. القوس التربيعي $(x + y)^2$

باستخدام قانون مربع حدين

عند تربيع مجموع عددين داخل القوس، يتم تطبيق القانون:

$$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$$

مثال رياضي: إذا كان:

$$(3 + 2i)^2$$

نستخدم القانون:

$$3^2 + 2(3)(2i) + (2i)^2$$

$$= 9 + 12i + 4i^2$$

وبما أن:

$$i^2 = -1$$

فإن:

$$4i^2 = 4(-1) = -4$$

وبالتالي:

$$9 – 4 + 12i = 5 + 12i$$

2. القوس التكعيبي $(x + y)^3$

القانون العام لمكعب مجموع عددين هو:

$$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$$

مثال: إذا كان:

$$(1 + i)^3$$

نطبق القانون:

$$1^3 + 3(1^2)(i) + 3(1)(i^2) + i^3$$

$$= 1 + 3i + 3(-1) + (-i)$$

$$= 1 + 3i – 3 – i$$

$$= -2 + 2i$$

3. القوس ذو الأسس الكبيرة باستخدام “البيت والغرفة”

عندما يكون الأس أكبر من 3، يتم استخدام طريقة “البيت والغرفة”، حيث يتم تجزئة الأس إلى حاصل ضرب أسين أصغر.

قاعدة:
إذا كان لدينا:

$$(x + y)^4$$

نقوم بتجزئته كالتالي:

$$(x + y)^4 = [(x + y)^2] \cdot [(x + y)^2]$$

وبما أن

$(x + y)^2$

يتم حسابه أولًا، فإننا نعوض الناتج في العملية الثانية.

مثال:
إذا كان:

$$(1 + i)^4$$

نقوم أولًا بحساب:

$$(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i – 1 = 2i$$

ثم نستخدم:

$$(2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4$$

4. كيفية جمع وطرح الأعداد المركبة

جمع عددين مركبين: إذا كان لدينا:

$$(3 + 2i) + (1 + 4i)$$

نقوم بجمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية على حدة:

$$(3 + 1) + (2i + 4i) = 4 + 6i$$

طرح عددين مركبين: إذا كان لدينا:

$$(5 + 3i) – (2 + i)$$

نأخذ النظير الجمعي للعدد الثاني:

$$5 + 3i – 2 – i$$

ثم نجمع:

$$(5 – 2) + (3i – i) = 3 + 2i$$

5. استخدام القوانين الأساسية للأعداد المركبة

أثناء التعامل مع الأسس، يتم استخدام القوانين التالية:

1. 
   $i^2 = -1$ 
2. 
   $i^3 = -i$ 
3. 
   $i^4 = 1$ 
4. 
   $i^5 = i$ 

   (لأن الدورة تعيد نفسها كل 4 أسس)

مثال على ذلك:
إذا كان لدينا:

$$(1 + i)^5$$

نستخدم طريقة البيت والغرفة:

$$(1 + i)^5 = [(1 + i)^2] \cdot [(1 + i)^2] \cdot (1 + i)$$

وبعد الحساب، نحصل على:

$$-4(1 + i) = -4 – 4i$$

6. التعامل مع الجذور في الأعداد المركبة

إذا كان لدينا:

$$\sqrt{-9}$$

نستخدم تعريف الأعداد المركبة:

$$\sqrt{-9} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = 3i$$

📌 نصيحة: تأكد من حفظ القوانين الأساسية وتدرب على تطبيقها في المسائل المختلفة للحصول على أعلى الدرجات في الامتحانات الوزارية.

مفهوم العمليات على الأقواس في الأعداد المركبة

عند التعامل مع العمليات على الأقواس في الأعداد المركبة، يجب استخدام القواعد الصحيحة لضمان التبسيط الصحيح للناتج.

1. تربيع عدد مركب (مربع حدين)

عند تربيع عدد مركب من الشكل:

y = (a + bi)²

يتم تطبيق القاعدة:

y = a² + 2ab i + (bi)²

y = a² – b² + 2ab i $لأن i² = -1$

مثال:

y = (3 + 2i)²

y = 3² + 2(3)(2)i + (2i)²

y = 9 + 12i + 4(-1)

y = 9 + 12i – 4 = 5 + 12i

2. تكعيب عدد مركب

عند تكعيب عدد مركب، يتم التعامل معه باستخدام التوزيع التدريجي:

y = (a + bi)³ = (a + bi)(a + bi)(a + bi)

يتم حسابه عن طريق إيجاد مربع العدد المركب أولًا، ثم ضربه مرة أخرى في العدد المركب الأصلي.

مثال:

y = (1 + i)³

حساب التربيع أولًا:

y = (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i² = 1 + 2i – 1 = 2i

ثم الضرب في (1 + i):

y = (2i)(1 + i) = 2i + 2i²

y = 2i – 2

y = -2 + 2i

3. رفع عدد مركب للأسس الأعلى

عند التعامل مع الأسس الكبيرة مثل 4 أو 5، يتم تجزئة العملية إلى مربعات أو تكعيب لتبسيط الحساب.

مثال:
(1 + i)^4 = ((1 + i)^2)^2

بما أن (1 + i)^2 = 2i، إذًا:

(2i)^2 = 4i² = -4

قاعدة الأسس في الأعداد المركبة:

• i^1 = i
• i^2 = -1
• i^3 = -i
• i^4 = 1
• i^5 = i (وهكذا تتكرر الدورة كل 4 أسس)

تمارين على العمليات على الأقواس في الأعداد المركبة

تمرين 1: حساب تربيع عدد مركب

احسب ناتج التربيع التالي:

y = (2 – 3i)²

الحل:

y = 2² – 2(2)(3)i + (3i)²

y = 4 – 12i + 9(-1)

y = 4 – 12i – 9 = -5 – 12i

تمرين 2: حساب تكعيب عدد مركب

احسب ناتج التكعيب التالي:

y = (1 – 2i)³

الحل:

y = (1 – 2i)(1 – 2i)(1 – 2i)

حساب التربيع أولًا:

y = (1 – 2i)(1 – 2i) = 1 – 4i + 4i²

y = 1 – 4i – 4 = -3 – 4i

ثم الضرب في (1 – 2i):

y = (-3 – 4i)(1 – 2i)

y = -3 + 6i – 4i + 8i²

y = -3 + 2i – 8

y = -11 + 2i

تمرين 3: رفع عدد مركب للأس 4

احسب ناتج الرفع للأس 4:

y = (1 + i)^4

الحل:

y = ((1 + i)^2)^2

y = (2i)^2

y = 4i² = -4

تمرين 4: رفع عدد مركب للأس 5

احسب ناتج الرفع للأس 5:

y = (1 + i)^5

الحل:

y = (1 + i)^4 × (1 + i)

y = (-4) × (1 + i)

y = -4 – 4i

خاتمة

يُعد التعامل مع الأقواس في الأعداد المركبة من الأساسيات الرياضية المهمة، والتي تساعد في تسهيل العمليات الحسابية المختلفة وتوفير حلول دقيقة في المجالات الهندسية والعلمية. من خلال فهم العمليات المختلفة مثل التربيع والتكعيب ورفع الأسس، يمكن التعامل مع المسائل الأكثر تعقيدًا بسهولة وكفاءة.

تُستخدم هذه المفاهيم في مجالات متعددة مثل الإلكترونيات، الموجات، والنظم الديناميكية، مما يجعل من الضروري إتقان العمليات على الأقواس في الأعداد المركبة لتحقيق فهم عميق لمختلف التطبيقات الرياضية والهندسية.