التكامل المحدد للدوال الجبرية / محاضرة 8

التكامل المحدد للدوال الجبرية – شرح تفصيلي

مفهوم التكامل المحدد

التكامل المحدد هو عملية حساب المساحة تحت منحنى دالة معينة بين حدين معينين. يرمز له بالصيغة التالية:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

حيث:

• $f(x)$ هي الدالة المطلوب تكاملها.
• $a$ و$b$ هما حدود التكامل (القيم التي يتم الحساب بينها).
• $dx$ يشير إلى متغير التكامل.

يُعطي التكامل المحدد قيمة عددية تمثل المساحة المحصورة بين المنحنى ومحور السينات بين النقطتين $x = a$ و $x = b$.

خطوات حساب التكامل المحدد

1. إيجاد التكامل غير المحدد $F(x)$
   • أولًا، نحسب التكامل غير المحدد للدالة $f(x)$، أي نجد الدالة الأصلية $F(x)$ بحيث:

     $$\frac{d}{dx} F(x) = f(x)$$

2. تطبيق حدود التكامل
   • نحسب الفرق بين قيم $F(x)$ عند الحد العلوي والحد السفلي:

     $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a)$$

أمثلة على التكامل المحدد للدوال الجبرية

المثال الأول: تكامل دالة كثيرة الحدود

احسب التكامل المحدد التالي:

$$\int_{1}^{3} (2x^2 + 3x + 5) \, dx$$

الخطوة 1: إيجاد التكامل غير المحدد نحسب التكامل غير المحدد للدالة:

$$\int (2x^2 + 3x + 5) \, dx$$

نستخدم قواعد التكامل:

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$
• $\int c \, dx = cx$ حيث $c$ ثابت.

$$\int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3}$$ $$\int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2}$$ $$\int 5 \, dx = 5x$$

إذن، الدالة الأصلية:

$$F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل نحسب $F(3)$ و$F(1)$:

$$F(3) = \frac{2(3)^3}{3} + \frac{3(3)^2}{2} + 5(3)$$ $$= \frac{2(27)}{3} + \frac{3(9)}{2} + 15$$ $$= \frac{54}{3} + \frac{27}{2} + 15$$ $$= 18 + 13.5 + 15 = 46.5$$

نحسب $F(1)$:

$$F(1) = \frac{2(1)^3}{3} + \frac{3(1)^2}{2} + 5(1)$$ $$= \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 5$$ $$= 0.67 + 1.5 + 5 = 7.17$$

حساب التكامل المحدد:

$$\int_{1}^{3} (2x^2 + 3x + 5) \, dx = F(3) – F(1) = 46.5 – 7.17 = 39.33$$

المثال الثاني: تكامل دالة جذرية

احسب:

$$\int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx$$

الخطوة 1: كتابة الدالة على صورة أسس نستخدم:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$

وبالتالي:

$$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل نحسب:

$$F(4) = \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}}$$ $$= \frac{2}{3} (8) = \frac{16}{3} \approx 5.33$$

ونحسب:

$$F(0) = \frac{2}{3} (0)^{\frac{3}{2}} = 0$$

إذن:

$$\int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = 5.33 – 0 = 5.33$$

خواص التكامل المحدد

1. عند تطابق حدود التكامل
   إذا كانت حدود التكامل متطابقة، فإن القيمة تكون صفرًا:

   $$\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$$

2. عكس حدود التكامل
   إذا عكسنا الحدود، تتغير الإشارة:

   $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$$

3. التكامل لمجموع دالتين
   التكامل المحدد يوزع على الجمع والطرح:

   $$\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx$$

4. إذا كانت الدالة موجبة، يكون التكامل موجبًا
   إذا كانت $f(x) \geq 0$ على الفترة $[a, b]$، فإن:

   $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0$$

السؤال هو:

$$\int_{-2}^{2} (3x – 2) \, dx$$

أي أنه المطلوب حساب التكامل المحدد للدالة $3x – 2$ من $x = -2$ إلى $x = 2$.

لحساب التكامل المحدد:

$$I = \int_{-2}^{2} (3x – 2) \, dx$$

الخطوة 1: إيجاد التكامل غير المحدد

نحسب التكامل غير المحدد للدالة $3x – 2$:

$$\int (3x – 2) \, dx$$

نستخدم قواعد التكامل:

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$
• $\int c \, dx = cx$ حيث $c$ ثابت.

$$\int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2}$$ $$\int -2 \, dx = -2x$$

إذن الدالة الأصلية هي:

$$F(x) = \frac{3x^2}{2} – 2x$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل

نحسب:

$$F(2) = \frac{3(2)^2}{2} – 2(2)$$ $$= \frac{3(4)}{2} – 4$$ $$= \frac{12}{2} – 4 = 6 – 4 = 2$$

ونحسب:

$$F(-2) = \frac{3(-2)^2}{2} – 2(-2)$$ $$= \frac{3(4)}{2} + 4$$ $$= \frac{12}{2} + 4 = 6 + 4 = 10$$

الخطوة 3: حساب التكامل المحدد

$$I = F(2) – F(-2) = 2 – 10 = -8$$

الإجابة النهائية:

$$\int_{-2}^{2} (3x – 2) \, dx = -8$$

السؤال هو:

$$\int_{1}^{3} (x^4 + 4x) \, dx$$

أي أنه المطلوب حساب التكامل المحدد للدالة $x^4 + 4x$ من $x = 1$ إلى $x = 3$.

لحل التكامل المحدد:

$$I = \int_{1}^{3} (x^4 + 4x) \,dx$$

الخطوة 1: حساب التكامل غير المحدد

نحسب التكامل لكل حد على حدة:

1. تكامل $x^4$:

   $$\int x^4 \,dx = \frac{x^5}{5}$$

2. تكامل $4x$:

   $$\int 4x \,dx = 4 \times \frac{x^2}{2} = 2x^2$$

إذن، التكامل غير المحدد هو:

$$F(x) = \frac{x^5}{5} + 2x^2$$

الخطوة 2: حساب التكامل المحدد

نطبق حدود التكامل $x = 3$ و $x = 1$:

$$I = F(3) – F(1)$$

حساب $F(3)$:

$$F(3) = \frac{3^5}{5} + 2(3^2)$$ $$= \frac{243}{5} + 2(9)$$ $$= \frac{243}{5} + 18$$ $$= \frac{243}{5} + \frac{90}{5}$$ $$= \frac{333}{5}$$

حساب $F(1)$:

$$F(1) = \frac{1^5}{5} + 2(1^2)$$ $$= \frac{1}{5} + 2$$ $$= \frac{1}{5} + \frac{10}{5}$$ $$= \frac{11}{5}$$

الخطوة 3: إيجاد الفرق

$$I = \frac{333}{5} – \frac{11}{5}$$ $$= \frac{333 – 11}{5}$$ $$= \frac{322}{5}$$ $$= 64.4$$

الإجابة النهائية:

$$I = 64.4$$

السؤال هو:

$$\int_{1}^{2} \left( x^{-2} + 2x + 1 \right) dx$$

والمطلوب هو إيجاد قيمة التكامل المحدد من $x = 1$ إلى $x = 2$.

حل التكامل المحدد:

$$I = \int_{1}^{2} \left( x^{-2} + 2x + 1 \right) dx$$

الخطوة 1: حساب التكامل غير المحدد

نحسب التكامل لكل حد على حدة:

1. تكامل $x^{-2}$:

   $$\int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$$

2. تكامل $2x$:

   $$\int 2x \,dx = 2 \times \frac{x^2}{2} = x^2$$

3. تكامل $1$:

   $$\int 1 \,dx = x$$

إذن، التكامل غير المحدد هو:

$$F(x) = -\frac{1}{x} + x^2 + x$$

الخطوة 2: حساب التكامل المحدد

نطبق حدود التكامل $x = 2$ و $x = 1$:

$$I = F(2) – F(1)$$

حساب $F(2)$:

$$F(2) = -\frac{1}{2} + (2^2) + 2$$ $$= -\frac{1}{2} + 4 + 2$$ $$= \frac{-1}{2} + \frac{12}{2}$$ $$= \frac{11}{2}$$

حساب $F(1)$:

$$F(1) = -\frac{1}{1} + (1^2) + 1$$ $$= -1 + 1 + 1 = 1$$

إيجاد الفرق:

$$I = \frac{11}{2} – 1$$ $$= \frac{11}{2} – \frac{2}{2}$$ $$= \frac{9}{2} = 4.5$$

الإجابة النهائية:

$$I = 4.5$$

السؤال هو:

$$\int_{1}^{3} \frac{2x^3 – 4x^2 + 5}{x^2} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int_{1}^{3} \frac{2x^3 – 4x^2 + 5}{x^2} \, dx$$

الخطوة 1: تبسيط الكسر

نقوم بتقسيم كل حد في البسط على $x^2$:

$$\frac{2x^3 – 4x^2 + 5}{x^2} = 2x – 4 + \frac{5}{x^2}$$

الخطوة 2: حساب التكامل لكل حد على حدة

نحسب التكامل لكل حد:

1. تكامل $2x$:

   $$\int 2x \, dx = x^2$$

2. تكامل $-4$:

   $$\int -4 \, dx = -4x$$

3. تكامل $\frac{5}{x^2}$:
   يمكن كتابته كـ $5x^{-2}$ ثم تكامله:

   $$\int 5x^{-2} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{5}{x}$$

الخطوة 3: تطبيق حدود التكامل

بالتالي، يصبح التكامل غير المحدد:

$$I = x^2 – 4x – \frac{5}{x} \Big|_1^3$$

نحسب القيم عند الحدود:

• عند $x = 3$:

  $$(3)^2 – 4(3) – \frac{5}{3} = 9 – 12 – \frac{5}{3} = -3 – \frac{5}{3} = -\frac{9}{3} – \frac{5}{3} = -\frac{14}{3}$$

• عند $x = 1$:

  $$(1)^2 – 4(1) – \frac{5}{1} = 1 – 4 – 5 = -8$$

الخطوة 4: حساب الفرق

$$I = \left( -\frac{14}{3} \right) – (-8)$$ $$= -\frac{14}{3} + 8 = -\frac{14}{3} + \frac{24}{3} = \frac{10}{3}$$

النتيجة النهائية:

$$\frac{10}{3}$$

إذن، قيمة التكامل المحدد هي $\frac{10}{3}$.