التكامل غير المحدد للدوال المثلثية – حاصل ضرب الدوال المثلثية/ محاضرة 13

عند حساب تكامل حاصل ضرب الدوال المثلثية ذات الزوايا المختلفة، فإننا نستخدم الهويات المثلثية لتحويل الضرب إلى مجموع أو فرق، مما يسهل التكامل.

الطريقة العامة

إذا كان لدينا التكامل:

$$I = \int \sin A \sin B \, dx$$

أو

$$I = \int \cos A \cos B \, dx$$

أو

$$I = \int \cos A \sin B \, dx$$

فإننا نستخدم هويات جداء الدوال المثلثية:

1. حاصل ضرب جيب وجيب:

   $$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A – B) – \cos (A + B)]$$

2. حاصل ضرب جيب تمام وجيب تمام:

   $$\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A – B) + \cos (A + B)]$$

3. حاصل ضرب جيب تمام وجيب:

   $$\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A + B) – \sin (A – B)]$$

أمثلة على التكامل

مثال 1: تكامل $\sin 3x \sin 5x$

نستخدم الهوية:

$$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A – B) – \cos (A + B)]$$

حيث $A = 3x$ و$B = 5x$:

$$\sin 3x \sin 5x = \frac{1}{2} [\cos (3x – 5x) – \cos (3x + 5x)]$$ $$= \frac{1}{2} [\cos (-2x) – \cos 8x]$$

وبما أن $\cos (-2x) = \cos 2x$:

$$= \frac{1}{2} [\cos 2x – \cos 8x]$$

الآن نكامل كل حد على حدة:

$$I = \int \sin 3x \sin 5x \, dx$$ $$= \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx – \frac{1}{2} \int \cos 8x \, dx$$ $$= \frac{1}{2} \times \frac{\sin 2x}{2} – \frac{1}{2} \times \frac{\sin 8x}{8}$$ $$= \frac{\sin 2x}{4} – \frac{\sin 8x}{16} + C$$

مثال 2: تكامل $\cos 4x \cos 6x$

نستخدم الهوية:

$$\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A – B) + \cos (A + B)]$$ $$\cos 4x \cos 6x = \frac{1}{2} [\cos (4x – 6x) + \cos (4x + 6x)]$$ $$= \frac{1}{2} [\cos (-2x) + \cos 10x]$$ $$= \frac{1}{2} [\cos 2x + \cos 10x]$$

الآن نكامل:

$$I = \int \cos 4x \cos 6x \, dx$$ $$= \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx + \frac{1}{2} \int \cos 10x \, dx$$ $$= \frac{1}{2} \times \frac{\sin 2x}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sin 10x}{10}$$ $$= \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 10x}{20} + C$$

القاعدة العامة

إذا كان لديك تكامل من الشكل:

$$\int \sin(mx) \sin(nx) \, dx$$

أو

$$\int \cos(mx) \cos(nx) \, dx$$

أو

$$\int \cos(mx) \sin(nx) \, dx$$

فاستخدم الهوية المناسبة لتحويل الضرب إلى مجموع أو فرق، ثم تكامل كل حد على حدة.

السؤال هو:

$$\int \sin 6x \cos^2 3x \, dx$$

فيما يلي طريقةٌ مباشرةٌ لحل التكامل:

$$\int \sin(6x)\,\cos^2(3x)\,dx.$$

الخطوة 1: استخدام هوية مضاعفة الزاوية
نستفيد من أنّ:

$$\sin(6x) = 2 \,\sin(3x)\,\cos(3x).$$

وبذلك يصبح التكامل:

$$\int \sin(6x)\,\cos^2(3x)\,dx = \int \Bigl[2\,\sin(3x)\,\cos(3x)\Bigr] \cos^2(3x)\,dx = 2\int \sin(3x)\,\cos^3(3x)\,dx.$$

الخطوة 2: إجراء التعويض المناسب
نضع:

$$u = \cos(3x) \quad\Longrightarrow\quad du = -3\,\sin(3x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\,du.$$

بالتعويض في التكامل:

$$2\int \sin(3x)\,\cos^3(3x)\,dx = 2\int \cos^3(3x)\,\sin(3x)\,dx = 2\int u^3 \,\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)\,du = -\tfrac{2}{3}\int u^3\,du.$$

الخطوة 3: تكامل دالة كثيرة حدود في $u$

$$-\tfrac{2}{3}\int u^3\,du = -\tfrac{2}{3}\,\cdot\,\frac{u^4}{4} = -\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}u^4 = -\tfrac{1}{6}u^4 + C.$$

الخطوة 4: الرجوع إلى المتغيّر الأصلي $x$
بإعادة التعويض $u = \cos(3x)$:

$$-\tfrac{1}{6}u^4 + C = -\tfrac{1}{6}\cos^4(3x) + C.$$

إذن قيمة التكامل هي:

$$\boxed{\, -\tfrac{1}{6}\cos^4(3x) + C \,}.$$