الجذور التربيعية / محاضرة 18

خطوات إيجاد الجذرين التربيعيين:

١. تحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية:

يعطى العدد المركب بالصورة القياسية:

$z = x + yi$

لحساب المقدار (المعيار) $r$ و الزاوية (السعة) $\theta$ نقوم بالتالي:

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right)$

٢. استخدام الصيغة القطبية لاستخراج الجذر التربيعي:

يعطى الجذران التربيعيان للعدد المركب بالعلاقة:

$\sqrt{z} = \pm \sqrt{r} \left( \cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2} \right)$

حيث:

• $\sqrt{r}$ هو الجذر التربيعي للمقدار $r$.
• $\frac{\theta}{2}$ هو نصف الزاوية الأصلية $\theta$.

مثال ١:

نريد إيجاد الجذرين التربيعيين للعدد المركب $3 + 4i$.

١. حساب $r$ و $\theta$:

$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \approx 53.13^\circ$

٢. حساب الجذور:

$\sqrt{r} = \sqrt{5} \approx 2.236$

$\frac{\theta}{2} = \frac{53.13^\circ}{2} = 26.57^\circ$

$\text{الجذر الأول} = \sqrt{5} \left( \cos 26.57^\circ + i \sin 26.57^\circ \right)$

$\approx 2.236 \times (0.894 + i 0.447)$

$\approx 2 + i$

لحساب الجذر الثاني، نضيف $180^\circ$ إلى الزاوية:

$\frac{\theta}{2} + 180^\circ = 26.57^\circ + 180^\circ = 206.57^\circ$

$\text{الجذر الثاني} = \sqrt{5} \left( \cos 206.57^\circ + i \sin 206.57^\circ \right)$

$\approx 2.236 \times (-0.894 – i 0.447)$

$\approx -2 – i$

مثال ٢:

نريد إيجاد الجذرين التربيعيين للعدد المركب $-5 + 12i$.

١. حساب $r$ و $\theta$:

$r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{12}{-5} \right) \approx 112.62^\circ$

٢. حساب الجذور:

$\sqrt{r} = \sqrt{13} \approx 3.606$

$\frac{\theta}{2} = \frac{112.62^\circ}{2} = 56.31^\circ$

$\text{الجذر الأول} = \sqrt{13} \left( \cos 56.31^\circ + i \sin 56.31^\circ \right)$

$\approx 3.606 \times (0.559 + i 0.829)$

$\approx 2.02 + 2.99i$

لحساب الجذر الثاني، نضيف $180^\circ$ إلى الزاوية:

$\frac{\theta}{2} + 180^\circ = 56.31^\circ + 180^\circ = 236.31^\circ$

$\text{الجذر الثاني} = \sqrt{13} \left( \cos 236.31^\circ + i \sin 236.31^\circ \right)$

$\approx 3.606 \times (-0.559 – i 0.829)$

$\approx -2.02 – 2.99i$

النتيجة النهائية:

للعدد المركب $3 + 4i$:

$\sqrt{3 + 4i} = \pm (2 + i)$

للعدد المركب $-5 + 12i$:

$\sqrt{-5 + 12i} = \pm (2.02 + 2.99i)$

الخاتمة:

بالتالي، يمكن إيجاد الجذور التربيعية للأعداد المركبة باستخدام التحليل إلى الصورة القطبية ثم تطبيق القوانين المناسبة لاستخراج الجذور. هذه الطريقة مفيدة في مجالات متعددة مثل الهندسة الكهربائية والفيزياء وعلوم الحاسوب.