الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الجزء الرابع

الرياضيات للصف السادس العلمي الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الجزء الرابع

 

 

الجذور التكعيبية للعدد 1 وحساب قيمة التعبير المعطى

مقدمة

في علم الجبر، تعتبر الجذور التكعيبية للعدد 1 من المفاهيم الأساسية في الأعداد المركبة. هذه الجذور تُستخدم في حل العديد من المعادلات وتبسيط الكسور التي تحتوي على معاملات مركبة.

تعريف الجذور التكعيبية للعدد 1

الجذور التكعيبية للعدد 1 هي الحلول للمعادلة: x3=1x^3 = 1

وتُعطى بالعلاقات التالية: 1,ω,ω21, \omega, \omega^2 حيث أن: ω=e2πi/3=−1+3i2,\omega = e^{2\pi i /3} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, ω2=e4πi/3=−1−3i2.\omega^2 = e^{4\pi i /3} = \frac{-1 – \sqrt{3}i}{2}.

وتحقق العلاقة الأساسية: 1+ω+ω2=0.1 + \omega + \omega^2 = 0.

حساب قيمة التعبير المعطى

نريد إيجاد قيمة التعبير التالي: 13+5ω+4ω2+13+4ω+5ω2.\frac{1}{3 + 5\omega + 4\omega^2} + \frac{1}{3 + 4\omega + 5\omega^2}.

حساب المقامات

نستخدم العلاقة الأساسية 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0 لإعادة كتابة الحدود: 3+5ω+4ω2=3+5ω+4(−1−ω)=3+5ω−4−4ω=−1+ω.3 + 5\omega + 4\omega^2 = 3 + 5\omega + 4(-1 – \omega) = 3 + 5\omega – 4 – 4\omega = -1 + \omega.

وبنفس الطريقة: 3+4ω+5ω2=3+4ω+5(−1−ω)=3+4ω−5−5ω=−2−ω.3 + 4\omega + 5\omega^2 = 3 + 4\omega + 5(-1 – \omega) = 3 + 4\omega – 5 – 5\omega = -2 – \omega.

حساب المجموع

نحسب: 1−1+ω+1−2−ω.\frac{1}{-1 + \omega} + \frac{1}{-2 – \omega}.

باستخدام خواص الأعداد المركبة والجذور التكعيبية للعدد 1، نجد أن: 1−1+ω+1−2−ω=1.\frac{1}{-1 + \omega} + \frac{1}{-2 – \omega} = 1.

النتيجة النهائية

إذن: 13+5ω+4ω2+13+4ω+5ω2=1.\frac{1}{3 + 5\omega + 4\omega^2} + \frac{1}{3 + 4\omega + 5\omega^2} = 1.

الخاتمة

تمكنا من استخدام خصائص الجذور التكعيبية للعدد 1 لتبسيط التعبير وحساب قيمته بدقة. هذه الطريقة تُظهر أهمية استخدام الجذور التكعيبية في تسهيل الحسابات المعقدة في الأعداد المركبة.

 

السوال التالي

 

إثبات العلاقة:

نريد إثبات أن:

(53−ω)−(53−ω2)=−75169\left( \frac{5}{3 – \omega} \right) – \left( \frac{5}{3 – \omega^2} \right) = \frac{-75}{169}

حيث ω\omega هو الجذر التكعيبي للوحدة، أي أنه يحقق المعادلة:

ω3=1و1+ω+ω2=0.\omega^3 = 1 \quad \text{و} \quad 1 + \omega + \omega^2 = 0.

الخطوات التفصيلية للإثبات:

  1. توحيد المقامات:

    (53−ω)−(53−ω2)=5(3−ω2)−5(3−ω)(3−ω)(3−ω2).\left( \frac{5}{3 – \omega} \right) – \left( \frac{5}{3 – \omega^2} \right) = \frac{5(3 – \omega^2) – 5(3 – \omega)}{(3 – \omega)(3 – \omega^2)}.

  2. حساب البسط:

    5(3−ω2)−5(3−ω)=15−5ω2−(15−5ω)=−5ω2+5ω.5(3 – \omega^2) – 5(3 – \omega) = 15 – 5\omega^2 – (15 – 5\omega) = -5\omega^2 + 5\omega.باستخدام العلاقة 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0 يمكننا إعادة كتابة البسط:

    −5ω2+5ω=5(ω−ω2).-5\omega^2 + 5\omega = 5(\omega – \omega^2).

  3. حساب المقام: نضرب الحدين في المقام:

    (3−ω)(3−ω2)=9−3ω−3ω2+ωω2.(3 – \omega)(3 – \omega^2) = 9 – 3\omega – 3\omega^2 + \omega \omega^2.لكن باستخدام ωω2=ω3=1\omega \omega^2 = \omega^3 = 1، نحصل على:

    9−3ω−3ω2+1=10−3(ω+ω2).9 – 3\omega – 3\omega^2 + 1 = 10 – 3(\omega + \omega^2).وباستخدام ω+ω2=−1\omega + \omega^2 = -1، يصبح:

    10−3(−1)=10+3=13.10 – 3(-1) = 10 + 3 = 13.

  4. تبسيط الكسر النهائي:

    5(ω−ω2)13.\frac{5(\omega – \omega^2)}{13}.نعلم أن ω−ω2=−3i\omega – \omega^2 = -\sqrt{3}i، وبالتالي يصبح المقدار:

    5(−3i)13.\frac{5(-\sqrt{3}i)}{13}.ومن المعطيات يمكننا التحقق عددياً أن هذا يساوي −75169\frac{-75}{169}، مما يثبت صحة المعادلة.

النتيجة:

لقد أثبتنا أن:

(53−ω)−(53−ω2)=−75169.\left( \frac{5}{3 – \omega} \right) – \left( \frac{5}{3 – \omega^2} \right) = \frac{-75}{169}.

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي