الصيغة القطبية والمقياس والسعة / محاضرة 27

تقرير عن إيجاد الصيغة القطبية للعدد المركب $\left(1 + \sqrt{3} i\right)^2$

المقدمة

تُستخدم الصيغة القطبية للأعداد المركبة في العديد من التطبيقات الرياضية والهندسية، مثل تحليل الدوائر الكهربائية ومعالجة الإشارات. يهدف هذا التقرير إلى توضيح كيفية تحويل العدد المركب $\left(1 + \sqrt{3} i\right)^2$ إلى الصيغة القطبية باستخدام خطوات رياضية منهجية.

إيجاد الصيغة القطبية للعدد الأساسي $z = 1 + \sqrt{3} i$

الصيغة القطبية للعدد المركب تُكتب على الشكل:

$$z = r e^{i\theta}$$

حيث:

• $r$ هو المقياس (المقدار)، ويُحسب كالتالي:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

بما أن $x = 1$ و$y = \sqrt{3}$:

$$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

• $\theta$ هو الزاوية (السعة)، ويُحسب كالتالي:

$$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right)$$ $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right) = \tan^{-1} (\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$$

وبالتالي، الصيغة القطبية للعدد المركب $z = 1 + \sqrt{3} i$ هي:

$$z = 2 e^{i \frac{\pi}{3}}$$

إيجاد الصيغة القطبية للعدد $z^2$

بما أن:

$$z^2 = \left(2 e^{i \frac{\pi}{3}}\right)^2$$

وباستخدام خواص الأسس:

$$z^2 = 2^2 e^{i (2 \times \frac{\pi}{3})}$$ $$z^2 = 4 e^{i \frac{2\pi}{3}}$$

النتيجة النهائية

الصيغة القطبية للعدد المركب $\left(1 + \sqrt{3} i\right)^2$ هي:

$$4 e^{i \frac{2\pi}{3}}$$

أو بالتعبير الموسّع باستخدام الدوال المثلثية:

$$4 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$$

الخاتمة

تم في هذا التقرير توضيح كيفية تحويل العدد المركب $1 + \sqrt{3}i$ إلى صورته القطبية، ثم حساب مربع هذا العدد باستخدام خواص الأسس. يُظهر هذا النهج أهمية الصيغة القطبية في تبسيط العمليات الحسابية على الأعداد المركبة، مما يجعلها أداة فعالة في مجالات متعددة مثل الفيزياء والهندسة الكهربائية.

إيجاد الصيغة القطبية للعدد المركب

لإيجاد الصيغة القطبية للعدد المركب:

$$z = \frac{5 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} + 2i}$$

الخطوات:

1. ضرب البسط والمقام بالمرافق

مرافق المقام هو:

$$\sqrt{3} – 2i$$

نضرب كلاً من البسط والمقام بالمرافق:

$$z = \frac{(5 + \sqrt{3}i)(\sqrt{3} – 2i)}{(\sqrt{3} + 2i)(\sqrt{3} – 2i)}$$

2. حساب المقام

المقام هو فرق مربعين:

$$(\sqrt{3})^2 – (2i)^2 = 3 – 4(-1) = 3 + 4 = 7$$

3. حساب البسط

نوزع الضرب في البسط:

$$(5 + \sqrt{3}i)(\sqrt{3} – 2i)$$

باستخدام التوزيع:

$$5\sqrt{3} – 10i + 3i – 2\sqrt{3}i^2$$

بما أن $i^2 = -1$، فيصبح:

$$5\sqrt{3} – 10i + 3i + 2\sqrt{3}$$ $$(5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) + (-10i + 3i)$$ $$7\sqrt{3} – 7i$$

4. قسمة كل حد على 7

$$z = \frac{7\sqrt{3} – 7i}{7} = \sqrt{3} – i$$

5. إيجاد الصيغة القطبية

العدد المركب هو:

$$z = \sqrt{3} – i$$

حساب المقياس $r$:

$$r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

حساب الزاوية $\theta$:

$$\tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}}$$

بما أن:

$$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

وبما أن العدد في الربع الرابع، فإن:

$$\theta = -30^\circ = -\frac{\pi}{6}$$

6. الصيغة القطبية

$$z = 2 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right)$$

أو:

$$z = 2 e^{-i\pi/6}$$