المحاضرة 10/القطع الناقص/ النوع الثاني

لدينا معادلة القطع الناقص:

$$4x^2 + 3y^2 = \frac{4}{3}$$

الخطوة 1: تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية

نقسم جميع الحدود على $\frac{4}{3}$ للحصول على الصورة القياسية:

$$\frac{4x^2}{\frac{4}{3}} + \frac{3y^2}{\frac{4}{3}} = 1$$

بما أن القسمة على كسر تعني الضرب بالمقلوب، نحسب كل حد على حدة:

$$\frac{x^2}{\frac{4}{3} \div 4} + \frac{y^2}{\frac{4}{3} \div 3} = 1$$ $$\frac{x^2}{\frac{1}{3}} + \frac{y^2}{\frac{4}{9}} = 1$$ $$\frac{x^2}{\frac{1}{3}} + \frac{y^2}{\frac{4}{9}} = 1$$

بما أن $a^2$ هو الأكبر، فإن:

• $a^2 = \frac{4}{9}$ وبالتالي $a = \frac{2}{3}$
• $b^2 = \frac{1}{3}$ وبالتالي $b = \frac{\sqrt{3}}{3}$

بما أن $a^2$ تحت $y^2$، فإن القطع الناقص رأسي، أي أن المحور الأكبر هو المحور الرأسي.

الخطوة 2: إيجاد العناصر الهندسية

1. إحداثيات الرأسين: الرأسين على المحور الأكبر (الرأسي)، وبالتالي:

   $$(0, \pm a) = \left( 0, \pm \frac{2}{3} \right)$$

2. إحداثيات القطبين: القطبين على المحور الأصغر (الأفقي)، وبالتالي:

   $$(\pm b, 0) = \left( \pm \frac{\sqrt{3}}{3}, 0 \right)$$

3. إحداثيات البؤرتين: البؤرتان توجدان على المحور الأكبر، ويتم حساب بعد البؤرة $c$ باستخدام العلاقة:

   $$c^2 = a^2 – b^2$$ $$c^2 = \frac{4}{9} – \frac{1}{3} = \frac{4}{9} – \frac{3}{9} = \frac{1}{9}$$ $$c = \frac{1}{3}$$إذن، إحداثيات البؤرتين:

   $$(0, \pm c) = \left( 0, \pm \frac{1}{3} \right)$$

4. طول المحورين:
   • طول المحور الأكبر: $2a = \frac{4}{3}$
   • طول المحور الأصغر: $2b = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
5. الاختلاف المركزي: يُحسب بالعلاقة:

   $$e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$$

النتائج النهائية

هل تحتاج إلى أي توضيح إضافي؟ 😊

السوال التالي

نريد إيجاد معادلة القطع الناقص الذي:

• بؤرتاه عند $F_1(-5,0)$ و $F_2(5,0)$
• طول محوره الأكبر $2a = 12$

الخطوة 1: إيجاد القيم الأساسية

1. حساب $a$:

   $$a = \frac{12}{2} = 6$$

2. حساب $c$:**
   البؤرتان تقعان على المحور $x$ عند $\pm 5$، أي أن:

   $$c = 5$$

3. حساب $b$ باستخدام العلاقة:

   $$c^2 = a^2 – b^2$$ $$5^2 = 6^2 – b^2$$ $$25 = 36 – b^2$$ $$b^2 = 11$$

الخطوة 2: كتابة المعادلة القياسية للقطع الناقص

بما أن المحور الأكبر أفقي (لأن البؤرتين على المحور $x$)، فإن معادلة القطع الناقص تكون على الشكل:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

بالتعويض بالقيم التي حصلنا عليها:

$$\frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{11} = 1$$ $$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1$$

الإجابة النهائية

$$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1$$

هذه هي معادلة القطع الناقص المطلوب. 🎯😊