المحاضرة 13/ القطع الناقص/ النوع الثاني

المعطيات من السؤال:

• مركز القطع الناقص: نقطة الأصل $(0,0)$.
• البؤرتان: $F_1(4,0)$ و $F_2(-4,0)$.
  • إذن، المسافة بين البؤرتين هي: $$2c = 8 \Rightarrow c = 4$$
  • البؤرتان تقعان على المحور الأفقي $x$، مما يعني أن المحور الأكبر أفقي.
• يمر القطع الناقص بالنقطة $(5,0)$، أي أن نصف المحور الأكبر $a$ يجب أن يكون على الأقل 5.

الخطوة 1: إيجاد قيمة $a$

نعلم أن معادلة القطع الناقص تكون على الشكل:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

ونعلم أن:

$$c^2 = a^2 – b^2$$

بالتعويض بـ $c = 4$:

$$16 = a^2 – b^2$$

الخطوة 2: استخدام النقطة $(5,0)$

بما أن القطع الناقص يمر بالنقطة $(5,0)$، فإن:

$$\frac{5^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1$$ $$\frac{25}{a^2} = 1$$ $$a^2 = 25$$

الخطوة 3: إيجاد $b^2$

باستخدام العلاقة:

$$a^2 – b^2 = c^2$$ $$25 – b^2 = 16$$ $$b^2 = 9$$

الخطوة 4: كتابة معادلة القطع الناقص

بما أن المحور الأكبر أفقي، فإن المعادلة تكون:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

هذه هي معادلة القطع الناقص المطلوب. 🎯😊

السؤال:

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل، وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ:

$$y^2 + 8x = 0$$

ويمر بالنقطة $(5,0)$.

المعطيات من السؤال:

• مركز القطع الناقص: نقطة الأصل $(0,0)$.
• إحدى بؤرتي القطع الناقص هي بؤرة القطع المكافئ المعطى بمعادلته:

  $$y^2 + 8x = 0$$

• يمر القطع الناقص بالنقطة $(5,0)$.

الخطوة 1: إيجاد بؤرة القطع المكافئ

معادلة القطع المكافئ تُكتب على الشكل القياسي:

$$y^2 = -8x$$

بما أن معادلة القطع المكافئ على الشكل $y^2 = 4px$، فإن:

$$4p = -8$$ $$p = -2$$

إذن، بؤرة القطع المكافئ هي $(-2,0)$، أي أن إحدى بؤرتي القطع الناقص هي $(-2,0)$، مما يعني أن البؤرة الأخرى متناظرة عند $(2,0)$.

بالتالي:

$$c = 2$$

الخطوة 2: استخدام النقطة $(5,0)$ لإيجاد $a$

بما أن القطع الناقص يمر بالنقطة $(5,0)$، فهذا يعني أن:

$$\frac{5^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1$$ $$\frac{25}{a^2} = 1$$ $$a^2 = 25$$

الخطوة 3: إيجاد $b^2$

نعلم أن:

$$c^2 = a^2 – b^2$$ $$2^2 = 25 – b^2$$ $$4 = 25 – b^2$$ $$b^2 = 21$$

الخطوة 4: كتابة معادلة القطع الناقص

بما أن البؤرتين على المحور $x$، فإن القطع الناقص أفقي، وبالتالي تأخذ المعادلة الشكل:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

بالتعويض بالقيم:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{21} = 1$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{21} = 1$$

التحقق من القيم:

• المسافة بين البؤرتين: $2c = 4$ ✔
• يمر بالنقطة $(5,0)$ ✔

كل الشروط محققة، وبالتالي المعادلة صحيحة! 🎯😊