المحاضرة 17/ القطع الناقص/ النوع الثاني

السؤال :

“جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $y^2 + 8x = 0$ ويمر بالنقطة $(2\sqrt{3}, \sqrt{3})$.”

لحل هذا السؤال، سنتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: إيجاد بؤرة القطع المكافئ

معادلة القطع المكافئ المعطاة هي:

$$y^2 + 8x = 0$$

نكتبها على الصورة القياسية:

$$y^2 = -8x$$

نقارنها بالمعادلة القياسية للقطع المكافئ:

$$y^2 = 4ax$$

نجد أن:

$$4a = -8 \Rightarrow a = -2$$

إذن بؤرة القطع المكافئ هي:

$$(-2,0)$$

الخطوة 2: تحديد معادلة القطع الناقص

• نعلم أن مركز القطع الناقص هو نقطة الأصل $(0,0)$.
• إحدى بؤرتيه هي البؤرة نفسها للقطع المكافئ أي $(-2,0)$.
• هذا يعني أن البعد البؤري $c$ يساوي: $$c = 2$$
• نستخدم الصيغة القياسية للقطع الناقص الذي محوره الأفقي: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ حيث العلاقة بين $a, b, c$ تعطى بالمعادلة: $$c^2 = a^2 – b^2$$ وبالتالي: $$2^2 = a^2 – b^2 \Rightarrow 4 = a^2 – b^2$$

الخطوة 3: إيجاد قيمة $a^2$ و $b^2$ باستخدام النقطة المعطاة

النقطة $(2\sqrt{3}, \sqrt{3})$ تقع على القطع الناقص، أي تحقق معادلته:

$$\frac{(2\sqrt{3})^2}{a^2} + \frac{(\sqrt{3})^2}{b^2} = 1$$ $$\frac{12}{a^2} + \frac{3}{b^2} = 1$$

الخطوة 4: حل المعادلتين لإيجاد $a^2$ و $b^2$

لدينا المعادلتين:

1. $a^2 – b^2 = 4$
2. $\frac{12}{a^2} + \frac{3}{b^2} = 1$

نحلها جبرًا:

• من المعادلة الأولى: $a^2 = b^2 + 4$
• نستخدمها في الثانية:

  $$\frac{12}{b^2+4} + \frac{3}{b^2} = 1$$نضرب الطرفين في $(b^2+4)b^2$ للتخلص من المقامات:

  $$12b^2 + 3(b^2+4) = (b^2+4)b^2$$ $$12b^2 + 3b^2 + 12 = b^4 + 4b^2$$ $$15b^2 + 12 = b^4 + 4b^2$$ $$b^4 – 11b^2 – 12 = 0$$نضع $x = b^2$ في المعادلة:

  $$x^2 – 11x – 12 = 0$$نحللها:

  $$(x – 12)(x + 1) = 0$$إذن $x = 12$ أو $x = -1$ (نرفض $-1$ لأنه لا يمكن أن يكون مربع عدد سالبًا).

  إذن:

  $$b^2 = 12$$وبالتالي:

  $$a^2 = 12 + 4 = 16$$

الخطوة 5: كتابة المعادلة النهائية

$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$$

وهذه هي معادلة القطع الناقص المطلوبة.

السؤال :

“جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه متناظرتان لمحور السينات وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ $y^2 + 8x = 0$ عند النقطة التي إحداثيها السيني (-2).”

لحل المسألة، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: معادلة القطع الناقص

• مركز القطع الناقص عند نقطة الأصل: أي أن معادلته تكون على الشكل: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
• بؤرتا القطع متناظرتان حول محور السينات: مما يعني أن المحور الأكبر هو المحور الأفقي ($x$-axis).
• المعطى: طول المحور الكبير ضعف طول المحور الصغير: $$2a = 2(2b) \Rightarrow a = 2b$$
• علاقة نصف القطر المحور مع البؤرة: $$c^2 = a^2 – b^2$$ حيث $c$ هو بعد البؤرة عن المركز.

الخطوة 2: إيجاد نقطة التقاطع مع القطع المكافئ

• معادلة القطع المكافئ المعطى هي: $$y^2 + 8x = 0$$ أي أن: $$y^2 = -8x$$
• النقطة التي يمر بها المنحنيان لها الإحداثي السيني $x = -2$، نحسب $y$: $$y^2 = -8(-2) = 16$$ $$y = \pm4$$ إذن، النقطة هي $(-2,4)$ أو $(-2,-4)$.

الخطوة 3: إيجاد قيم $a$ و $b$

• لأن النقطة $(-2,4)$ تقع على القطع الناقص: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ نعوض $x = -2$ و $y = 4$: $$\frac{(-2)^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1$$ $$\frac{4}{a^2} + \frac{16}{b^2} = 1$$
• باستخدام العلاقة $a = 2b$: $$a^2 = 4b^2$$ بالتعويض: $$\frac{4}{4b^2} + \frac{16}{b^2} = 1$$ $$\frac{1}{b^2} + \frac{16}{b^2} = 1$$ $$\frac{17}{b^2} = 1$$ $$b^2 = 17, \quad a^2 = 4b^2 = 68$$

الخطوة 4: المعادلة النهائية للقطع الناقص

$$\frac{x^2}{68} + \frac{y^2}{17} = 1$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^2}{68}+\frac{y^2}{17}=1$$

السؤال :
“جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين (2،6) و (4،3).”

لحل المسألة، نستخدم معادلة القطع الناقص الذي مركزه عند نقطة الأصل $(0,0)$ وبؤرتاه على محور السينات، والتي تكون على الصورة:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

حيث:

• $a$ هو نصف المحور الأكبر.
• $b$ هو نصف المحور الأصغر.
• البؤرتان تقعان عند $(\pm c,0)$ حيث $c^2 = a^2 – b^2$.

الخطوات:

١. استخدام النقطة الأولى (2,6)

بما أن النقطة $(2,6)$ تقع على القطع الناقص، فإنها تحقق المعادلة:

$$\frac{2^2}{a^2} + \frac{6^2}{b^2} = 1$$ $$\frac{4}{a^2} + \frac{36}{b^2} = 1$$

٢. استخدام النقطة الثانية (4,3)

بما أن النقطة $(4,3)$ تقع على القطع الناقص، فإنها تحقق المعادلة:

$$\frac{4^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1$$ $$\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1$$

٣. حل المعادلتين

لدينا النظام:

$$\frac{4}{a^2} + \frac{36}{b^2} = 1$$ $$\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1$$

يمكننا حل هذا النظام جبريًا لإيجاد قيمتي $a^2$ و $b^2$. سأقوم بحل المعادلتين رياضيًا.

بحل النظام، نحصل على:

$$a^2 = 20, \quad b^2 = 45$$

٤. معادلة القطع الناقص

بتعويض القيم في معادلة القطع الناقص القياسية:

$$\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{45} = 1$$

٥. حساب $c$ لتحديد البؤرتين

نستخدم العلاقة:

$$c^2 = a^2 – b^2$$ $$c^2 = 20 – 45 = -25$$

لكن هذه النتيجة غير صحيحة لأن $c^2$ لا يمكن أن يكون سالبًا. يبدو أن هناك خطأ في المعطيات أو الحسابات. هل لديك أي تأكيد على صحة النقاط المعطاة؟