المحاضرة 2/ القطع المكافئ

القطوع المخروطية – القطع المكافئ

تعريف القطع المكافئ: القطع المكافئ هو أحد أنواع القطوع المخروطية، وهو مجموعة نقاط المستوى التي تكون متساوية البعد عن نقطة ثابتة تسمى البؤرة وخط ثابت يسمى الدليل.

معادلة القطع المكافئ:

1. عندما يكون محور التماثل أفقيًا:

   $$(y – k)^2 = 4p(x – h)$$

   • الرأس: $(h, k)$
   • البؤرة: $(h + p, k)$
   • الدليل: $x = h – p$
   • اتجاه الفتحة:
     • إذا كان $p > 0$ يتجه نحو اليمين.
     • إذا كان $p < 0$ يتجه نحو اليسار.
2. عندما يكون محور التماثل رأسيًا:

   $$(x – h)^2 = 4p(y – k)$$

   • الرأس: $(h, k)$
   • البؤرة: $(h, k + p)$
   • الدليل: $y = k – p$
   • اتجاه الفتحة:
     • إذا كان $p > 0$ يتجه للأعلى.
     • إذا كان $p < 0$ يتجه للأسفل.

إيجاد معادلة القطع المكافئ:

لإيجاد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل $(0,0)$ وبؤرته $(3,0)$:

• الرأس: $(0,0)$
• البؤرة: $(3,0)$
• بما أن البؤرة تقع على المحور الأفقي، فإن معادلة القطع المكافئ تأخذ الشكل:

  $$y^2 = 4px$$حيث $p$ هو بعد البؤرة عن الرأس:

  $$p = 3$$بالتعويض:

  $$y^2 = 4(3)x$$أي:

  $$y^2 = 12x$$

صور توضيحية:

إذا كنت بحاجة إلى المزيد من الشروحات أو التمارين، لا تتردد في طلب ذلك!