المحاضرة 24/ ايجاد معادلة القطع الزائد

جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل، وبؤرتاه تقعان على محور الصادات، وطول محوره المرافق $2\sqrt{2}$ وحدة، كما أن اختلافه المركزي يساوي $3$.

لحل هذا السؤال، دعونا نتبع الخطوات التالية:

1. تحديد شكل المعادلة العامة للقطع الزائد

بما أن مركز القطع الزائد هو نقطة الأصل $(0,0)$ وأن بؤرتيه تنتميان لمحور الصادات، فإن معادلة القطع الزائد تأخذ الشكل:

$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1$$

حيث:

• $c$ هو بعد البؤرة عن المركز.
• $a$ هو نصف طول المحور الحقيقي.
• $b$ هو نصف طول المحور المرافق.

2. استخلاص المعلومات المعطاة في السؤال

• اختلافه المركزي: $e = \frac{c}{a} = 3$، أي أن:

$$c = 3a$$

• طول المحور المرافق هو $2\sqrt{2}$، أي أن:

$$2b = 2\sqrt{2} \Rightarrow b = \sqrt{2}$$

• نستخدم العلاقة بين $a$ و$b$ و$c$ في القطع الزائد:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

3. إيجاد القيم المطلوبة

من العلاقة $c = 3a$، فإن:

$$(3a)^2 = a^2 + (\sqrt{2})^2$$ $$9a^2 = a^2 + 2$$ $$8a^2 = 2$$ $$a^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

بما أن $b = \sqrt{2}$، نحسب $b^2$:

$$b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$$

4. كتابة المعادلة النهائية

بالتعويض في معادلة القطع الزائد:

$$\frac{y^2}{\frac{1}{4}} – \frac{x^2}{2} = 1$$

وبتبسيط الكسر الأول:

$$\frac{4y^2}{1} – \frac{x^2}{2} = 1$$ $$4y^2 – \frac{x^2}{2} = 1$$

وهذه هي معادلة القطع الزائد المطلوبة.

السؤال:
جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل، وبؤرتاه تنتميان لمحور الصادات، ويمر بالنقطتين $(6, -3)$ و $(\sqrt{20}, 1)$.

لحل هذا السؤال، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: تحديد شكل المعادلة

بما أن مركز القطع الزائد هو نقطة الأصل $(0,0)$ وأن بؤرتاه على محور الصادات، فإن معادلته تأخذ الشكل:

$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$

الخطوة 2: تحديد القيم باستخدام النقاط المعطاة

بما أن النقطة $(6, -3)$ تقع على القطع الزائد، فإنها تحقق المعادلة:

$$\frac{6^2}{a^2} – \frac{(-3)^2}{b^2} = 1$$ $$\frac{36}{a^2} – \frac{9}{b^2} = 1$$

وبنفس الطريقة، النقطة $(\sqrt{20}, 1)$ تحقق المعادلة:

$$\frac{(\sqrt{20})^2}{a^2} – \frac{1^2}{b^2} = 1$$ $$\frac{20}{a^2} – \frac{1}{b^2} = 1$$

الخطوة 3: حل المعادلتين لإيجاد $a^2$ و $b^2$

نحل نظام المعادلتين:

$$\frac{36}{a^2} – \frac{9}{b^2} = 1$$ $$\frac{20}{a^2} – \frac{1}{b^2} = 1$$

طريقة الطرح لحل النظام

نطرح المعادلتين للتخلص من 1 في الطرف الأيمن:

$$\left( \frac{36}{a^2} – \frac{9}{b^2} \right) – \left( \frac{20}{a^2} – \frac{1}{b^2} \right) = 1 – 1$$ $$\frac{36}{a^2} – \frac{20}{a^2} – \frac{9}{b^2} + \frac{1}{b^2} = 0$$ $$\frac{16}{a^2} – \frac{8}{b^2} = 0$$ $$\frac{16}{a^2} = \frac{8}{b^2}$$ $$\frac{8}{b^2} = \frac{16}{a^2}$$ $$\frac{b^2}{8} = \frac{a^2}{16}$$ $$\frac{b^2}{a^2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$ $$b^2 = \frac{a^2}{2}$$

إيجاد $a^2$

نعوض في المعادلة الثانية:

$$\frac{20}{a^2} – \frac{1}{(a^2/2)} = 1$$ $$\frac{20}{a^2} – \frac{2}{a^2} = 1$$ $$\frac{18}{a^2} = 1$$ $$a^2 = 18$$

إيجاد $b^2$

$$b^2 = \frac{18}{2} = 9$$

الخطوة 4: كتابة المعادلة النهائية

$$\frac{x^2}{18} – \frac{y^2}{9} = 1$$

هذه هي معادلة القطع الزائد المطلوب. 🎯