حساب المساحة بين منحنيين

لحساب المساحة بين منحنيين في الرياضيات، يتم استخدام التكامل المحدد. إذا كان لدينا منحنيان ممثلان بالدالتين:

$$y = f(x) \quad \text{و} \quad y = g(x)$$

بحيث $f(x)$ هو المنحنى العلوي و$g(x)$ هو المنحنى السفلي في الفترة $[a, b]$، فإن المساحة المحصورة بين المنحنيين تُحسب باستخدام الصيغة:

$$A = \int_{a}^{b} \left[ f(x) – g(x) \right] \,dx$$

الخطوات الأساسية لحساب المساحة:

1. تحديد نقاط التقاطع: حل المعادلة $f(x) = g(x)$ لإيجاد قيم $x$ التي تتقاطع عندها الدالتان، وهي الحدود $a$ و $b$.
2. التأكد من أي منحنى هو العلوي والسفلي: إذا كان $f(x) > g(x)$ في الفترة $[a, b]$، يكون التكامل كما هو. وإذا تغيرت العلاقة في جزء من الفترة، فقد تحتاج إلى تقسيم التكامل.
3. حساب التكامل المحدد: بإيجاد الفرق $f(x) – g(x)$ ثم تكامل هذه الدالة بين $a$ و $b$.

مثال تطبيقي:

احسب المساحة بين المنحنيين:

$$y = x^2 + 1 \quad \text{و} \quad y = 2x + 3$$

الخطوات:

1. إيجاد نقاط التقاطع:

   $$x^2 + 1 = 2x + 3$$ $$x^2 – 2x – 2 = 0$$باستخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4(1)(-2)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$إذن، حدود التكامل هي $x = 1 – \sqrt{3}$ و$x = 1 + \sqrt{3}$.

2. حساب التكامل:

   $$A = \int_{1 – \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} [(2x + 3) – (x^2 + 1)] dx$$ $$= \int_{1 – \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} (2x + 3 – x^2 – 1) dx$$ $$= \int_{1 – \sqrt{3}}^{1 + \sqrt{3}} (-x^2 + 2x + 2) dx$$

سأحسب التكامل الآن.

المساحة المحصورة بين المنحنيين $y = x^2 + 1$ و $y = 2x + 3$ في الفترة المحددة هي 6.93 (بوحدة المساحة).

هذا هو التمثيل البياني للمنحنيين $y = 2x + 3$ و $y = x^2 + 1$، مع تظليل المساحة المحصورة بينهما باللون الرمادي. نقاط التقاطع موضحة على الرسم، وهي الحدود التي تم استخدامها لحساب التكامل.

السؤال هو:

“جد المساحة المحددة بالمنحنيين $f(x) = x^3$ و $g(x) = 3x$ باستخدام التكامل.”

حيث يتم حساب المساحة عن طريق إيجاد نقاط التقاطع بين المنحنيين ثم حساب التكامل المحدد للفارق بينهما.

حل المسألة خطوة بخطوة:

1. إيجاد نقاط التقاطع بين الدالتين:

نجد قيم $x$ حيث $f(x) = g(x)$:

$$x^3 = 3x$$ $$x^3 – 3x = 0$$

نحلل المعادلة:

$$x(x^2 – 3) = 0$$

باستخدام قانون الجذر التربيعي:

$$x = 0, \quad x = \pm\sqrt{3}$$

إذن، نقاط التقاطع هي:

$$x = -\sqrt{3}, \quad x = 0, \quad x = \sqrt{3}$$

2. حساب المساحة باستخدام التكامل:

المساحة بين المنحنيين تعطى بالتكامل المطلق:

$$A = \int_{-\sqrt{3}}^{0} |x^3 – 3x| dx + \int_{0}^{\sqrt{3}} |x^3 – 3x| dx$$

في الفترة $x \in [-\sqrt{3}, 0]$، يكون $x^3 – 3x$ سالبًا، لذا نأخذ القيمة المطلقة ونعكس الإشارة:

$$A_1 = \int_{-\sqrt{3}}^{0} -(x^3 – 3x) dx = \int_{-\sqrt{3}}^{0} (3x – x^3) dx$$

في الفترة $x \in [0, \sqrt{3}]$، يكون $x^3 – 3x$ موجبًا، لذا نتركه كما هو:

$$A_2 = \int_{0}^{\sqrt{3}} (x^3 – 3x) dx$$

3. حساب التكاملات:

سأقوم الآن بحساب القيم العددية لهذه التكاملات.

المساحة المحصورة بين المنحنيين تساوي 4.5 (باعتبار أن المساحة لا يمكن أن تكون سالبة، لذا نأخذ القيمة المطلقة).

الخطوات التي تم تنفيذها:

1. تم إيجاد نقاط التقاطع عند $x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}$.
2. تم تقسيم التكامل إلى فترتين حيث تغير ترتيب الدوال.
3. حساب التكامل في كل فترة وأخذ القيمة المطلقة.

الرسم البياني للسؤال

هذا هو التمثيل البياني للمنحنيين $y = x^3$ و $y = 3x$، مع تظليل المساحة المحصورة بينهما باللون الرمادي. نقاط التقاطع عند $x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}$ موضحة على الرسم. المساحة الكلية المحصورة تساوي 4.5 وحدة مربعة.

السؤال هو:

جد المساحة المحددة بالمنحنيين
$f(x) = \frac{1}{2} x$ و $g(x) = \sqrt{x – 1}$
وعلى الفترة $[2, 5]$.

لحساب المساحة المحصورة بين المنحنيين $f(x) = \frac{1}{2} x$ و $g(x) = \sqrt{x – 1}$ على الفترة $[2, 5]$، نتبع الخطوات التالية:

1. تحديد نقاط التقاطع

لحساب المساحة، نحتاج إلى معرفة أي الدالتين تقع في الأعلى في الفترة المعطاة.
نجد نقاط التقاطع بحل المعادلة:

$$\frac{1}{2}x = \sqrt{x – 1}$$

نقوم بتربيع الطرفين:

$$\left( \frac{1}{2}x \right)^2 = (\sqrt{x – 1})^2$$ $$\frac{1}{4}x^2 = x – 1$$ $$\frac{1}{4}x^2 – x + 1 = 0$$

نستخدم المميز لحل المعادلة:

$$\Delta = (-1)^2 – 4 \times \frac{1}{4} \times 1 = 1 – 1 = 0$$

بما أن المميز صفر، فإن المعادلة لها حل واحد فقط:

$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{0}}{2 \times \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

أي أن الدالتين تتقاطعان عند $x = 2$.

2. حساب التكامل بين $x = 2$ و $x = 5$

نلاحظ أن $g(x) = \sqrt{x – 1}$ تقع فوق $f(x) = \frac{1}{2}x$ في الفترة $(2, 5]$.
لذلك نحسب المساحة بالتكامل:

$$A = \int_{2}^{5} \left( \sqrt{x – 1} – \frac{1}{2} x \right) dx$$

3. حساب التكامل

تكامل $\sqrt{x – 1}$

نضع $u = x – 1$ ⟹ $du = dx$، فيكون:

$$\int \sqrt{x – 1} dx = \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$$

بإرجاع $u = x – 1$:

$$\frac{2}{3} (x – 1)^{\frac{3}{2}}$$

تكامل $\frac{1}{2} x$

$$\int \frac{1}{2} x dx = \frac{1}{2} \times \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}$$

4. تطبيق حدود التكامل

$$A = \left[ \frac{2}{3} (x – 1)^{\frac{3}{2}} – \frac{x^2}{4} \right]_{2}^{5}$$

نعوض عند $x = 5$:

$$\frac{2}{3} (5 – 1)^{\frac{3}{2}} – \frac{5^2}{4}$$ $$\frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} – \frac{25}{4}$$ $$\frac{2}{3} \times 8 – \frac{25}{4}$$ $$\frac{16}{3} – \frac{25}{4}$$

تحويل إلى مقام موحد (المقام 12):

$$\frac{64}{12} – \frac{75}{12} = \frac{-11}{12}$$

5. القيمة المطلقة

بما أن المساحة لا يمكن أن تكون سالبة:

$$A = \frac{11}{12} \approx 0.9167$$

النتيجة النهائية

المساحة المحصورة بين المنحنيين على الفترة $[2,5]$ تساوي:

$$\mathbf{0.9167}$$