النظير الضربي / محاضرة 7

ما هو النظير الضربي؟

إذا كان لدينا عدد مركب $z = a + bi$ (حيث $a, b$ أعداد حقيقية و $i$ هو العدد التخيلي بحيث $i^2 = -1$)، فإن النظير الضربي لهذا العدد هو عدد مركب آخر $z^{-1}$ بحيث:

$$z \times z^{-1} = 1$$

أي أن ضرب العدد في نظيره الضربي يساوي العدد الحقيقي $1$. ونعني بـ مقلوب العدد المركب أنه العدد الذي عندما تضرب به العدد الأصلي تحصل على النتيجة $1$.

قانون النظير الضربي

لحساب النظير الضربي لعدد مركب $z = a + bi$، نستخدم الصيغة الشهيرة:

$$z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{a – bi}{a^2 + b^2}$$

حيث:

• $a – bi$ هو مرافق العدد المركب $a + bi$. (مرافق العدد يتم فيه تغيير إشارة الجزء التخيلي فقط).
• $a^2 + b^2$ هو مربع معيار العدد المركب (القيمة الحقيقية التي نحصل عليها عند جمع مربعي الجزء الحقيقي والجزء التخيلي).

لماذا نحتاج إلى النظير الضربي؟

1. القسمة على عدد مركب:
   من الشائع أثناء التعامل مع الأعداد المركبة أننا نرغب بقسمة عدد مركب على آخر. للقضاء على الجزء التخيلي في مقام الكسر، نضرب البسط والمقام في المرافق، مما يتطلب معرفة النظير الضربي.
2. التعبير القياسي:
   لضمان أن يكون الناتج مكتوبًا بالصورة القياسية $x + yi$ دون وجود $i$ في المقام.
3. التطبيقات العملية:
   • في الهندسة الكهربائية وتحليل الدوائر ذات التيارات المتناوبة (AC Circuits)، حيث تُستخدم الأعداد المركبة في تمثيل الممانعات (Impedances).
   • في الرياضيات البحتة، لحل المعادلات التي تتضمن أعدادًا مركبة.
   • في الميكانيكا وتحديدًا الاهتزازات ونمذجة الأنظمة الديناميكية.

خطوات إيجاد النظير الضربي بالتفصيل

1. كتابة العدد المركب بالصورة القياسية:
   تأكد من أن العدد المركب على هيئة $a + bi$.
2. حساب المرافق:
   • إذا كان $z = a + bi$ فإن مرافقه هو $\bar{z} = a – bi$.
3. حساب مربع المعيار:
   • معيار العدد المركب هو $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$،
   • ومربع هذا المعيار هو $|z|^2 = a^2 + b^2$.
4. القسمة:
   • النظير الضربي هو مرافق العدد على مربع معياره: $$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{a – bi}{a^2 + b^2}.$$

أمثلة توضيحية

مثال 1

احسب النظير الضربي للعدد المركب $z = 5 + 12i$.

1. مرافق العدد: $5 – 12i$.
2. مربع المعيار: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
3. النظير الضربي: $$z^{-1} = \frac{5 – 12i}{169} = \frac{5}{169} – \frac{12}{169}i.$$

مثال 2

احسب النظير الضربي للعدد المركب $z = 2 – 3i$.

1. مرافق العدد: $2 + 3i$.
2. مربع المعيار: $2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$.
3. النظير الضربي: $$z^{-1} = \frac{2 + 3i}{13} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13}i.$$

تطبيقات النظير الضربي في قسمة الأعداد المركبة

عند قسمة عدد مركب على آخر، نفعل ما يلي:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \times \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}} = \frac{z_1 \times \bar{z_2}}{|z_2|^2}.$$

بهذا الشكل، نكون قد ضربنا المقام في مرافقه، ما يجعل المقام عددًا حقيقيًّا (هو $|z_2|^2$)، فنستطيع حينها تمثيل الناتج على الصورة القياسية $x + yi$.

تمارين مقترحة

1. تمرين 1:
   احسب النظير الضربي للعدد المركب $z = 4 + 7i$.
2. تمرين 2:
   احسب النظير الضربي للعدد المركب $z = -6 + 8i$.
3. تمرين 3:
   إذا كان $z = 3 – 2i$، أوجد $z^{-1}$ ثم تحقق من أن $z \times z^{-1} = 1$.
4. تمرين 4:
   أوجد ناتج القسمة التالية:

   $$\frac{1 + 4i}{2 – 3i}.$$

5. تمرين 5:
   أوجد النظير الضربي للعدد المركب $z = -1 – i$.

الخاتمة

يُعد النظير الضربي للأعداد المركبة مفهومًا مهمًّا جدًّا لتبسيط القسمة والمعادلات في علم الأعداد المركبة. عند فهم خطوات إيجاده وتطبيقها بشكل صحيح، يسهل التعامل مع المسائل الرياضية والهندسية التي تتطلب إزالة الجزء التخيلي من المقام. يُنصح الطلاب بالتمرّن على الأمثلة والتمارين المتنوعة لاكتساب الثقة والمهارة في استخدام النظير الضربي ضمن العمليات الحسابية على الأعداد المركبة.