جمع وطرح الكسور للأعداد المركبة / محاضرة 8

الرياضيات للصف السادس العلمي جمع وطرح الكسور للأعداد المركبة / محاضرة 8

 

 

 

مفهوم الأعداد المركبة

يُكتب العدد المركب بالصورة: z=a+biz = a + bi، حيث:

  • aa: الجزء الحقيقي (عدد حقيقي).
  • bb: الجزء التخيلي (عدد حقيقي).
  • ii: العدد التخيلي الذي يحقق i2=−1i^2 = -1.

يُطلق على aa اسم “الجزء الحقيقي” وعلى bb اسم “الجزء التخيلي”.

1. جمع وطرح الكسور في الأعداد المركبة

عند التعامل مع جمع وطرح الكسور في الأعداد المركبة، نُطبق ما يلي:

  1. توحيد المقامات إن أمكن، عندما يكون المقام نفسه أو يمكن جعله مشتركًا.
  2. إزالة الجزء التخيلي من المقام (إذا كان المقام عددًا مركبًا) عن طريق ضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
  3. ترتيب الناتج النهائي على الصورة القياسية للأعداد المركبة a+bia + bi.

تذكير بقواعد أساسية

  • مرافق العدد المركب a+bia + bi هو a−bia – bi.
  • ضرب عدد مركب في مرافقه ينتج عددًا حقيقيًا مساويًا لـ a2+b2a^2 + b^2 ( مربع المعيار ).

2. الخطوات العامة لجمع أو طرح كسور مع أعداد مركبة

الخطوة الأولى: توحيد المقامات

إذا أردنا جمع أو طرح كسور تحتوي على أعداد مركبة، نُحاول جعل المقامات متشابهة:

AC+BD=AD+BCCD,AC−BD=AD−BCCD\frac{A}{C} + \frac{B}{D} = \frac{AD + BC}{CD}, \quad \frac{A}{C} – \frac{B}{D} = \frac{AD – BC}{CD}

حيث:A,B,C,DA, B, C, D قد تكون أعدادًا مركبة.

الخطوة الثانية: التخلص من الجزء التخيلي في المقام

إذا وجدت أعداد مركبة في المقام، نقوم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام. فمثلاً:

a+bic+di×c−dic−di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)\frac{a + bi}{c + di} \times \frac{c – di}{c – di} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)}

  • المقام يصبح عددًا حقيقيًا: (c+di)(c−di)=c2+d2(c + di)(c – di) = c^2 + d^2
  • البسط نتخلص فيه من الجزء التخيلي في مقامه.

الخطوة الثالثة: ترتيب الناتج

بعد إجراء الضرب وجمع الحدود أو طرحها، نُرتب الناتج على الصورة القياسية:

X+YiX + Yi

حيث XX وYY عددان حقيقيان.

3. أمثلة محلولة

مثال 1: جمع كسور مركبة

احسب ناتج المجموع:

12+i+31−2i.\frac{1}{2 + i} + \frac{3}{1 – 2i}.

الحل:

  1. تبسيط كل كسر على حدة:
    • بالنسبة للحد الأول 12+i\frac{1}{2 + i}: 12+i×2−i2−i=2−i(2+i)(2−i)=2−i22+12=2−i5=25−15i.\frac{1}{2 + i} \times \frac{2 – i}{2 – i} = \frac{2 – i}{(2 + i)(2 – i)} = \frac{2 – i}{2^2 + 1^2} = \frac{2 – i}{5} = \frac{2}{5} – \frac{1}{5} i.
    • بالنسبة للحد الثاني 31−2i\frac{3}{1 – 2i}: 31−2i×1+2i1+2i=3(1+2i)(1−2i)(1+2i)=3(1+2i)12+(2)2=3+6i1+4=3+6i5=35+65i.\frac{3}{1 – 2i} \times \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = \frac{3(1 + 2i)}{(1 – 2i)(1 + 2i)} = \frac{3(1 + 2i)}{1^2 + (2)^2} = \frac{3 + 6i}{1 + 4} = \frac{3 + 6i}{5} = \frac{3}{5} + \frac{6}{5} i.
  2. جمع النواتج: (25−15i)+(35+65i)=2+35+(−15+65)i=55+55i=1+i.\left(\frac{2}{5} – \frac{1}{5} i\right) + \left(\frac{3}{5} + \frac{6}{5} i\right) = \frac{2 + 3}{5} + \left(-\frac{1}{5} + \frac{6}{5}\right)i = \frac{5}{5} + \frac{5}{5} i = 1 + i.

لذلك، الناتج النهائي:

1+i.1 + i.

مثال 2: طرح كسور مركبة

احسب ناتج الفرق:

2+3i1+i−1−i2−i.\frac{2 + 3i}{1 + i} – \frac{1 – i}{2 – i}.

الحل:

  1. تبسيط الكسر الأول:

    2+3i1+i×1−i1−i=(2+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=(2+3i)(1−i)12+12=(2+3i)(1−i)2.\frac{2 + 3i}{1 + i} \times \frac{1 – i}{1 – i} = \frac{(2 + 3i)(1 – i)}{(1 + i)(1 – i)} = \frac{(2 + 3i)(1 – i)}{1^2 + 1^2} = \frac{(2 + 3i)(1 – i)}{2}.

    • توزيع البسط: (2)(1)+(2)(−i)+(3i)(1)+(3i)(−i)=2−2i+3i−3i2.(2)(1) + (2)(-i) + (3i)(1) + (3i)(-i) = 2 – 2i + 3i – 3i^2. لاحظ أن i2=−1i^2 = -1، إذن: −3i2=−3(−1)=+3.-3i^2 = -3(-1) = +3. فيصبح: 2+3+(−2i+3i)=5+i.2 + 3 + ( -2i + 3i ) = 5 + i.
    • القسمة على 2: 5+i2=52+12i.\frac{5 + i}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} i.
  2. تبسيط الكسر الثاني:

    1−i2−i×2+i2+i=(1−i)(2+i)(2−i)(2+i)=(1−i)(2+i)22+12=(1−i)(2+i)5.\frac{1 – i}{2 – i} \times \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{(1 – i)(2 + i)}{(2 – i)(2 + i)} = \frac{(1 – i)(2 + i)}{2^2 + 1^2} = \frac{(1 – i)(2 + i)}{5}.

    • توزيع البسط: (1)(2)+(1)(i)+(−i)(2)+(−i)(i)=2+i−2i−i2.(1)(2) + (1)(i) + (-i)(2) + (-i)(i) = 2 + i – 2i – i^2. −i2=−(−1)=+1– i^2 = -(-1) = +1 فيصبح: 2+1+(i−2i)=3−i.2 + 1 + ( i – 2i ) = 3 – i.
    • القسمة على 5: 3−i5=35−15i.\frac{3 – i}{5} = \frac{3}{5} – \frac{1}{5} i.
  3. إجراء عملية الطرح:

    (52+12i)−(35−15i).\left(\frac{5}{2} + \frac{1}{2} i\right) – \left(\frac{3}{5} – \frac{1}{5} i\right).لتسهيل الطرح، قد نضع كلا العددين تحت مقام مشترك أو نجري الطرح مباشرة:

    • كتابتهما في صورة عددين مركبين منفصلين: =52+12i−35+15i.= \frac{5}{2} + \frac{1}{2} i – \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i.
    • يمكن توحيد المقام، ولكن الأسهل هنا تحويلهما إلى أعداد حقيقية متفرقة وجمع الأجزاء المنفصلة: الجزء الحقيقي: 52−35=2510−610=1910.\frac{5}{2} – \frac{3}{5} = \frac{25}{10} – \frac{6}{10} = \frac{19}{10}. الجزء التخيلي: 12+15=510+210=710.\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10}.
    • إذن الناتج النهائي: 1910+710i.\frac{19}{10} + \frac{7}{10} i.

4. ملاحظات ختامية

  1. تنظيم الخطوات: ترتيب الخطوات في جمع وطرح الكسور ضروري لتجنب الخطأ.
  2. مرافق المقام: استخدام مرافق المقام هو الأسلوب القياسي للتخلص من الجزء التخيلي.
  3. الصيغة القياسية: دائمًا نعيد الناتج النهائي على صورة a+bia + bi أو على هيئة كسرين منفصلين للجزء الحقيقي والجزء التخيلي.

تمارين إضافية

  1. تمرين 1: 1+2i3+i+2−i4−3i\frac{1 + 2i}{3 + i} + \frac{2 – i}{4 – 3i}
  2. تمرين 2: 2+3i1−2i−3−4i5+i\frac{2 + 3i}{1 – 2i} – \frac{3 – 4i}{5 + i}
  3. تمرين 3: إذا كان لديك 42+i+51−2i\frac{4}{2 + i} + \frac{5}{1 – 2i} فبسّط الناتج.
  4. تمرين 4: بسّط 1−i2−3i−3+i1+i\frac{1 – i}{2 – 3i} – \frac{3 + i}{1 + i}.

 

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي