محاضرة 11 / النوع الثاني / تشابة مثلثين – الاسئلة وزارية – التفاضل

السؤال الوزاري:

مرشِحٌ أسطوانيٌّ قاعدتهُ أُفقيةٌ ورأسهُ للأسفل وارتفاعهُ $24 \, \text{cm}$ وقطرُ قاعدتهُ $16 \, \text{cm}$، يُصبُّ فيهِ سائلٌ بمعدل $5 \, \text{cm}^3/\text{s}$ ويُسرَّبُ منهُ السائلُ بمعدل $1 \, \text{cm}^3/\text{s}$. جد معدل تغيُّر عُمق السائل عندما يكون عمق السائل $12 \, \text{cm}$.

الحل:

لدينا مرشح أسطواني الشكل مقلوب، حيث القاعدة العلوية أفقية والقاع متجه للأسفل.
يُصب فيه سائل بمعدل $5 \, \text{cm}^3/\text{s}$ ويُسرَّب منه السائل بمعدل $1 \, \text{cm}^3/\text{s}$، أي أن معدل التغير الصافي في الحجم هو:

$$\frac{dV}{dt} = 5 – 1 = 4 \, \text{cm}^3/\text{s}$$

1. التعبير عن حجم السائل داخل الأسطوانة بالنسبة للارتفاع $h$:

بما أن الأسطوانة مقلوبة، فإن المقطع العرضي عند أي ارتفاع $h$ هو دائرة نصف قطرها متغير. نلاحظ أن الأسطوانة مخروطية الشكل عند امتلائها حتى ارتفاع معين.

نصف قطر القاعدة الكاملة للأسطوانة:

$$R = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm}$$

ارتفاع الأسطوانة:

$$H = 24 \text{ cm}$$

المقطع العرضي للسائل عند أي ارتفاع $h$ يشكل دائرة نصف قطرها $r$ ناتجة عن التشابه بين المثلثين الكبير والصغير.
باستخدام التشابه بين المثلثين:

$$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$

إذن:

$$r = \frac{h}{3}$$

2. إيجاد حجم السائل $V$ داخل الأسطوانة كدالة في $h$:

حجم المخروط يعطى بالصيغة:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

بالتعويض عن $r$ بدلاله $h$:

$$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{3}\right)^2 h$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \frac{h^3}{9}$$ $$V = \frac{\pi}{27} h^3$$

3. اشتقاق $V$ بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{27} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt}$$ $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{9} h^2 \frac{dh}{dt}$$

4. إيجاد معدل تغير الارتفاع $h$ عند $h = 12$ cm:

نعوض $\frac{dV}{dt} = 4$ و $h = 12$:

$$4 = \frac{\pi}{9} (12)^2 \frac{dh}{dt}$$ $$4 = \frac{\pi}{9} (144) \frac{dh}{dt}$$ $$4 = \frac{144\pi}{9} \frac{dh}{dt}$$ $$4 = 16\pi \frac{dh}{dt}$$ $$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{16\pi}$$ $$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{4\pi} \text{ cm/s}$$

النتيجة النهائية:

معدل تغير ارتفاع السائل داخل المرشح عندما يكون عمقه $12$ cm هو:

$$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{4\pi} \approx 0.0796 \text{ cm/s}$$

السؤال :

مرشح مخروطي قاعدته أفقية ورأسه للأسفل، ارتفاعه 24 cm وقطر قاعدته 16 cm. يصب فيه سائل بمعدل 5 cm³/s ويشرب منه السائل بمعدل 1 cm³/s. جد معدل تغير نصف قطر السائل عندما يكون نصف قطر السائل 4 cm.

لحل هذا السؤال، نستخدم قاعدة الحجم للمخروط وقاعدة المشتقات الضمنية لإيجاد معدل التغير المطلوب.

المعطيات:

• المخروط له ارتفاع $h = 24$ cm وقطر القاعدة $d = 16$ cm، أي أن نصف القطر $r = 8$ cm.
• معدل تدفق السائل إلى المخروط: $\frac{dV}{dt} = 5$ cm³/s.
• معدل تسرب السائل من المخروط: $\frac{dV_{\text{out}}}{dt} = 1$ cm³/s.
• معدل التغير الكلي لحجم السائل داخل المخروط: $$\frac{dV}{dt} = 5 – 1 = 4 \text{ cm}^3/\text{s}$$
• عند اللحظة المطلوبة، نصف قطر السائل $r = 4$ cm.

الخطوة 1: العلاقة بين حجم المخروط ونصف القطر

حجم المخروط يعطى بالعلاقة:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

وبما أن المخروط الأصلي له علاقة تناسبية بين نصف القطر والارتفاع، فنسبة التشابه بين المخروط الكبير والصغير:

$$\frac{r}{h} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \Rightarrow h = 3r$$

بالتعويض عن $h$:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 (3r) = \pi r^3$$

الخطوة 2: اشتقاق المعادلة بالنسبة للزمن

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{dV}{dt} = 3\pi r^2 \frac{dr}{dt}$$

الخطوة 3: التعويض بالقيم المعطاة

بالتعويض بـ $\frac{dV}{dt} = 4$ cm³/s و $r = 4$ cm:

$$4 = 3\pi (4)^2 \frac{dr}{dt}$$ $$4 = 3\pi (16) \frac{dr}{dt}$$ $$4 = 48\pi \frac{dr}{dt}$$

الخطوة 4: حل المعادلة لإيجاد $\frac{dr}{dt}$

$$\frac{dr}{dt} = \frac{4}{48\pi} = \frac{1}{12\pi}$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{12\pi} \text{ cm/s}$$

إذن، معدل تغير نصف قطر السائل عندما يكون نصف القطر 4 cm هو $\frac{1}{12\pi}$ cm/s.