محاضرة 8 / النوع الأول مساحات والحجوم – متوازي السطوح المستطيلة قاعدته مربعة

إليك شرحًا واضحًا لمفهوم متوازي السطوح المستطيلة ذو قاعدة مربعة والمشتقات الرياضياتية الخاصة به:

أولاً: تعريف متوازي السطوح المستطيلة ذو القاعدة المربعة

هو مجسم هندسي ثلاثي الأبعاد (حجمي)، يتكوّن من:

• قاعدة مربعة (طولها = عرضها).
• أربعة أوجه جانبية مستطيلة الشكل متطابقة الأبعاد.
• قاعدتان (عليا وسفلى) مربعتا الشكل ومتطابقتان.

لذلك يكون لهذا المجسم ثلاثة أبعاد أساسية:

• الطول $a$ (طول ضلع القاعدة المربعة)
• العرض $a$ (يساوي الطول لأن القاعدة مربعة)
• الارتفاع $h$ (الارتفاع بين القاعدتين)

ثانيًا: المشتقات الرياضياتية (القوانين):

(1) الحجم (V):

لإيجاد حجم متوازي السطوح المستطيلة (ذو القاعدة المربعة)، نستخدم القانون:

$$V = a^2 \times h$$

حيث:

• $a$: طول ضلع القاعدة.
• $h$: ارتفاع متوازي السطوح.

(2) المساحة الجانبية (S الجانبية):

لإيجاد مساحة الجوانب الأربعة (المستطيلة):

$$S_{\text{الجانبية}} = \text{محيط القاعدة} \times h$$

لكن لأن القاعدة مربعة، يكون محيطها:

$$4a$$

وبالتالي تصبح المساحة الجانبية:

$$S_{\text{الجانبية}} = 4a \times h$$

(3) المساحة الكلية (S الكلية):

لإيجاد المساحة الكلية (جميع الأوجه):

$$S_{\text{الكلية}} = S_{\text{الجانبية}} + 2 \times S_{\text{القاعدة}}$$

نعرف أن القاعدة مربعة، ومساحتها:

$$S_{\text{القاعدة}} = a^2$$

وبالتالي تصبح المساحة الكلية هي:

$$S_{\text{الكلية}} = 4a h + 2a^2$$

ثالثًا: ملخّص القوانين

رابعًا: مثال توضيحي:

مثال:
إذا كان طول ضلع القاعدة $a = 3$ سم، وارتفاع متوازي السطوح $h = 5$ سم. أوجد:

• الحجم.
• المساحة الجانبية.
• المساحة الكلية.

الحل:

• الحجم:

$$V = a^2 h = 3^2 \times 5 = 45 \; \text{سم}^3$$

• المساحة الجانبية:

$$S_{\text{الجانبية}} = 4 a h = 4 \times 3 \times 5 = 60 \; \text{سم}^2$$

• المساحة الكلية:

$$S_{\text{الكلية}} = 4 a h + 2 a^2 = 60 + 2 \times 9 = 78 \; \text{سم}^2$$

خامسًا: الملاحظات المهمة:

• إذا كان ارتفاع متوازي السطوح يساوي طول ضلع القاعدة، يصبح الشكل مكعبًا (حيث $a = h$).
• متوازي السطوح المستطيلة ذو قاعدة مربعة هو حالة خاصة من متوازي المستطيلات، تكون قاعدته مربعة الشكل.

خزان مملوء بالماء على شكل متوازي السطوح المستطيلة قاعدته مربعة طول ضلعه (2m) يُسرب منه الماء بمعدل (0.4m³/h)، جد معدل انخفاض الماء في الخزان.

لحل السؤال باستخدام المشتقات (التفاضل):

الخطوة الأولى: تحديد المتغيرات

• نفترض أن $h$ هو ارتفاع الماء في الخزان.
• مساحة القاعدة (مربعة) ثابتة $A$، وأبعادها $2m \times 2m$، إذن:

$$A = 2 \times 2 = 4\,m^2$$

• حجم الماء $V$ يعطى بالعلاقة:

$$V = A \times h = 4\,h$$

الخطوة الثانية: اشتقاق الحجم بالنسبة للزمن:

باشتقاق المعادلة السابقة بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{dV}{dt} = 4 \frac{dh}{dt}$$

الخطوة الثالثة: التعويض وإيجاد معدل انخفاض الماء:

• بما أن الخزان يسرب الماء فإن الحجم يتناقص، إذن:

$$\frac{dV}{dt} = -0.4\,m^3/h$$

• نعوض في العلاقة:

$$-0.4 = 4 \frac{dh}{dt}$$

• بحل المعادلة لإيجاد $\frac{dh}{dt}$:

$$\frac{dh}{dt} = \frac{-0.4}{4} = -0.1\,m/h$$

الإشارة السالبة تدل على تناقص ارتفاع الماء (الانخفاض).

الإجابة النهائية رياضيًا:

$$\frac{dh}{dt} = -0.1\,m/h$$

وبالتالي، معدل انخفاض ارتفاع الماء في الخزان هو $0.1\,m/h$.