مشتقات الدوال اللوغاريتمية والأسية / محاضرة 24

مشتقات الدوال اللوغاريتمية والأسية – شرح كامل

أولاً: مشتقات الدوال الأسية

الدالة الأسية هي دالة يكون فيها المتغير في الأس، وصيغتها العامة:

$$f(x) = a^x$$

حيث $a$ عدد حقيقي موجب و$a \neq 1$.

مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس $e$ (دالة الأساس الطبيعي):

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

أي أن مشتقة $e^x$ هي نفسها.

مشتقة الدالة الأسية ذات الأساس $a$:

$$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$$

حيث $\ln a$ هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس $a$.

مشتقة الدالة الأسية العامة:

إذا كانت الدالة من الشكل:

$$f(x) = a^{g(x)}$$

فإن مشتقتها تكون:

$$f'(x) = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$$

حيث $g(x)$ دالة قابلة للاشتقاق.

ثانياً: مشتقات الدوال اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية هي الدالة التي تأخذ الشكل:

$$f(x) = \log_a x$$

حيث $a$ هو الأساس.

مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ($\ln x$):

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$

مشتقة اللوغاريتم العام ($\log_a x$):

$$\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$$

حيث $\ln a$ هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس $a$.

مشتقة اللوغاريتم المركب ($\ln g(x)$):

إذا كانت الدالة من الشكل:

$$f(x) = \ln g(x)$$

فإن مشتقتها تكون:

$$f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

وهذه القاعدة مفيدة عند الاشتقاق الضمني أو عند التعامل مع دوال معقدة.

أمثلة توضيحية

1. إيجاد مشتقة الدالة الأسية $f(x) = 3^x$:

   $$f'(x) = 3^x \ln 3$$

2. إيجاد مشتقة الدالة الأسية المركبة $f(x) = e^{x^2}$:

   $$f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x$$

3. إيجاد مشتقة اللوغاريتم الطبيعي $f(x) = \ln(2x + 1)$:

   $$f'(x) = \frac{2}{2x + 1}$$

4. إيجاد مشتقة اللوغاريتم العام $f(x) = \log_5(x^2 + 3x)$:

   $$f'(x) = \frac{(2x + 3)}{(x^2 + 3x) \ln 5}$$

ملاحظات هامة

• عند وجود تركيب دوال مثل $e^{g(x)}$ أو $\ln g(x)$، يجب تطبيق قاعدة السلسلة.
• اشتقاق اللوغاريتم يسهل حل بعض المسائل عند التعامل مع الضرب أو القسمة، حيث يمكن استخدام التفكيك اللوغاريتمي لتحويل عمليات الضرب إلى عمليات جمع، مما يسهل الاشتقاق.
• الدالة $e^x$ لها خاصية مميزة وهي أن مشتقتها تساوي نفسها، مما يجعلها مفيدة في العديد من التطبيقات.

الدالة المعطاة هي:

$$y = \ln(4x)$$

لإيجاد المشتقة، نستخدم قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي:

$$\frac{d}{dx} \ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

حيث $g(x) = 4x$
إذن:

$$g'(x) = 4$$

وبالتالي:

$$\frac{d}{dx} \ln(4x) = \frac{4}{4x} = \frac{1}{x}$$

إذن:

$$y’ = \frac{1}{x}$$

الدالة المعطاة هي:

$$y = \ln(\tan x)$$

لإيجاد المشتقة، نستخدم قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي:

$$\frac{d}{dx} \ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

حيث $g(x) = \tan x$، فنحسب مشتقتها:

$$g'(x) = \sec^2 x$$

وبالتالي، مشتقة الدالة الأصلية هي:

$$y’ = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$$

إذن:

$$\frac{d}{dx} \ln(\tan x) = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$$

الدالة المعطاة هي:

$$y = \ln(\sin x)$$

إيجاد المشتقة

نستخدم قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي:

$$\frac{d}{dx} \ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

حيث $g(x) = \sin x$، فنحسب مشتقتها:

$$g'(x) = \cos x$$

وبالتالي:

$$y’ = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$

النتيجة النهائية:

$$\frac{d}{dx}\ln (\sin x)=\cot x$$

الدالة المعطاة هي:

$$y = \ln(\sqrt{x})$$

تبسيط الدالة

يمكن كتابة الجذر التربيعي على صورة أس:

$$y = \ln(x^{\frac{1}{2}})$$

وباستخدام خاصية اللوغاريتم:

$$\ln(x^a) = a \ln x$$

نحصل على:

$$y = \frac{1}{2} \ln x$$

إيجاد المشتقة

نشتق باستخدام قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي:

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$

إذن:

$$y’ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x}$$

النتيجة النهائية:

$$\frac{d}{dx} \ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2x}$$

الدالة المعطاة هي:

$$y = \ln(x^{-6})$$

تبسيط الدالة

باستخدام خاصية اللوغاريتمات:

$$\ln(x^a) = a \ln x$$

نحصل على:

$$y = -6 \ln x$$

إيجاد المشتقة

نشتق باستخدام قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي:

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$

إذن:

$$y’ = -6 \cdot \frac{1}{x} = \frac{-6}{x}$$

النتيجة النهائية:

$$\frac{d}{dx} \ln(x^{-6}) = \frac{-6}{x}$$

$$\frac{d}{dx} \ln(\sin x) = \cot x$$