نتيجة مبرهنة ديموافر / محاضرة 33

إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب باستخدام نتيجة ديموافر

مقدمة في هذا التقرير، سنوضح كيفية إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب باستخدام نتيجة ديموافر. سنطبق ذلك على العدد المركب $Z = \frac{1 – \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{-3}}$، مع توضيح جميع الخطوات اللازمة.

الخطوة 1: تحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية لإيجاد الجذور التربيعية، نبدأ بتحويل العدد المركب $Z$ إلى الصورة القطبية:

1. تبسيط العدد المركب: نحسب المقام:

   $$1 + \sqrt{-3} = 1 + i\sqrt{3}$$وبذلك يمكننا ضرب البسط والمقام بالمرافق $1 – i\sqrt{3}$ للحصول على صورة مكافئة.

2. حساب الطول (المقياس) $r$:

   $$r = |Z| = \left| \frac{1 – \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{-3}} \right| = 1$$مما يعني أن العدد يقع على الوحدة الدائرية.

3. حساب الزاوية $\theta$ (الطور): باستخدام قوانين الزوايا في المستوي المركب:

   $$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$$وبذلك يمكننا كتابة العدد في الصورة القطبية:

   $$Z = e^{-i\pi/3}$$

الخطوة 2: إيجاد الجذور التربيعية باستخدام ديموافر باستخدام نتيجة ديموافر، الجذور التربيعية للعدد المركب تُعطى بالصيغة:

$$Z^{1/2} = r^{1/2} e^{i(\theta/2 + k\pi)}, \quad k = 0,1$$

حيث:

$$r^{1/2} = 1^{1/2} = 1$$

1. الجذر الأول $w_0$ عندما $k = 0$:

   $$\theta_0 = \frac{-\pi}{3} / 2 = -\frac{\pi}{6}$$ $$w_0 = e^{-i\pi/6} = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})$$

2. الجذر الثاني $w_1$ عندما $k = 1$:

   $$\theta_1 = \frac{-\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$$ $$w_1 = e^{i 5\pi/6} = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})$$

النتائج النهائية بناءً على ما سبق، فإن الجذور التربيعية للعدد المركب $Z$ هي:

$$w_0 = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$$ $$w_1 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})$$

الخاتمة في هذا التقرير، قمنا باستخدام نتيجة ديموافر لإيجاد الجذور التربيعية لعدد مركب. تتضمن العملية تحويل العدد إلى الصورة القطبية ثم استخدام الصيغة العامة لحساب الجذور. يمكن تحويل النتيجة إلى الصورة الجبرية باستخدام قيم جيب وجيب تمام الزوايا عند الحاجة.

السوأل الثاني

إيجاد قيمة $\left( \sqrt{3 + i} \right)^{-\frac{3}{2}}$ باستخدام مبرهنة ديموافر

مقدمة يهدف هذا التقرير إلى إيجاد قيمة التعبير $\left( \sqrt{3 + i} \right)^{-\frac{3}{2}}$ باستخدام مبرهنة ديموافر، وذلك من خلال تحويل العدد المركب إلى صورته القطبية ثم تطبيق قانون القوى.

الخطوة 1: تمثيل العدد المركب بالصورة القطبية

نبدأ بالعدد المركب:

$$z = 3 + i$$

أولًا: حساب القيمة المطلقة $r$

القيمة المطلقة للعدد المركب تُحسب كالتالي:

$$r = |z| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

ثانيًا: حساب زاوية العدد المركب $\theta$

باستخدام تعريف ظل الزاوية:

$$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{\text{الجزء التخيلي}}{\text{الجزء الحقيقي}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$$

بالتالي، يمكننا كتابة العدد بالصورة القطبية:

$$z = \sqrt{10} e^{i \theta}$$

الخطوة 2: تطبيق القوة المطلوبة

المطلوب إيجاد:

$$\left( \sqrt{z} \right)^{-\frac{3}{2}}$$

بما أن الجذر التربيعي يعادل رفع العدد إلى القوة $\frac{1}{2}$، فإننا نحسب:

$$\left( \sqrt{10} e^{i \theta} \right)^{\frac{1}{2}}$$

وباستخدام مبرهنة ديموافر، نحصل على:

$$\left( \sqrt{10} e^{i \theta} \right)^{\frac{1}{2}} = (\sqrt{10})^{\frac{1}{2}} e^{i \frac{\theta}{2}}$$

وبما أن:

$$(\sqrt{10})^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{4}}$$

فإن:

$$\sqrt{z} = 10^{\frac{1}{4}} e^{i \frac{\theta}{2}}$$

نرفع الآن النتيجة إلى القوة $-\frac{3}{2}$:

$$\left( \sqrt{z} \right)^{-\frac{3}{2}} = \left( 10^{\frac{1}{4}} e^{i \frac{\theta}{2}} \right)^{-\frac{3}{2}}$$ $$= 10^{-\frac{3}{8}} e^{-i \frac{3\theta}{4}}$$

الخطوة 3: تحويل النتيجة إلى الصورة الجبرية

بالتالي، يمكن التعبير عن النتيجة كما يلي:

$$\left( \sqrt{3 + i} \right)^{-\frac{3}{2}} = 10^{-\frac{3}{8}} \left( \cos \left(-\frac{3\theta}{4} \right) + i \sin \left(-\frac{3\theta}{4} \right) \right)$$

حيث:

$$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$$

إذا كنت بحاجة إلى حساب قيمة عددية دقيقة لهذه النتيجة، يمكن إجراء الحسابات العددية لتقريب القيم المطلوبة.