حل الاسئلة في موضوع الربط على التوالي والتوازي

السؤال:

أثبت أن الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي بين صفيحتي متسعة مشحونة ومفصولة عن المصدر، تقل بنسبة $K$ إذا وُضع عازل ثابت عزله $K$ بين صفيحتيها غير الفراغ أو الهواء؟

الحل:

أولًا: الطاقة المختزنة في المتسعة:

الطاقة المختزنة في متسعة تُعطى بالعلاقة:

$$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{C}$$

عند إدخال العازل:

• المتسعة مفصولة عن المصدر ⇒ الشحنة $Q$ تبقى ثابتة
• السعة الجديدة تصبح:

$$C_k = K \cdot C$$

الطاقة بعد إدخال العازل:

$$E_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{C_k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{K \cdot C} = \frac{1}{K} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{C} \right) = \frac{E}{K}$$

النتيجة النهائية:

$$\boxed{E_k = \frac{E}{K}}$$

أي أن الطاقة المختزنة تقل بمقدار $\frac{1}{K}$، أو بمعنى آخر، تقل بنسبة $K$ عند إدخال مادة عازلة ثابت عزلها $K$ بدل الفراغ أو الهواء.

السؤال:

الكتاب / متسعة ذات صفيحتين متوازيتين، الهواء عازل بين صفيحتيها، شُحنت بواسطة بطارية ثم فُصلت عنها، وعندما أُدخل لوح عازل كهربائي ثابت عزله $K = 2$ بين صفيحتيها، ماذا يحصل لكل من الكميات الآتية للمتسعة (مع ذكر السبب):

(a) الشحنة المختزنة في أي من صفيحتيها
(b) السعة
(c) فرق الجهد بين صفيحتيها
(d) المجال الكهربائي بين صفيحتيها
(e) الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي بين صفيحتيها

الحل:

(a) الشحنة المختزنة في أي من صفيحتيها:

• تبقى ثابتة.
• السبب: لأن المتسعة فُصلت عن البطارية، فلا يوجد مصدر خارجي يغيّر الشحنة.

(b) السعة:

• تزداد بمقدار $K$.
• السبب: عند إدخال العازل، تصبح السعة الجديدة:

  $$C_k = K \cdot C = 2C$$

(c) فرق الجهد بين صفيحتيها:

• يقل بمقدار $\frac{1}{K}$.
• السبب: لأن الشحنة ثابتة، والسعة ازدادت، ونعلم أن:

  $$V = \frac{Q}{C} \Rightarrow V_k = \frac{Q}{K \cdot C} = \frac{V}{K} = \frac{V}{2}$$

(d) المجال الكهربائي بين صفيحتيها:

• يقل بمقدار $\frac{1}{K}$.
• السبب: لأن المجال يُحسب من العلاقة:

  $$E = \frac{V}{d}$$وبما أن $V$ قل إلى النصف، و$d$ ثابت ⇒ فإن المجال يقل إلى النصف أيضًا.

(e) الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي:

• تقل بمقدار $\frac{1}{K}$.
• السبب: باستخدام العلاقة:

  $$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{C}$$فمع بقاء $Q$ ثابتًا وزيادة $C$ إلى $2C$، فإن الطاقة تصبح:

  $$E_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{2C} = \frac{E}{2}$$

الإجابات النهائية باختصار: