الاشتقاقات في الموجات واسئلة الفصل الخامس

✅ أولًا: فكرة تجربة يونغ

في هذه التجربة:

• يُسلّط ضوء أحادي اللون على شقين ضيقين ومتقاربين.
• ينتج عن الشقين موجتان مترابطتان تتداخلان على شاشة أمامية.
• يظهر على الشاشة نمط من الأهداب المضيئة والمظلمة نتيجة التداخل البنّاء والهدّام.

✅ ثانيًا: شروط التداخل البنّاء

عند حدوث تداخل بناء (هدب مضيء)، فإن الفرق في المسار بين الموجتين هو:

$$\delta = m \lambda \quad \text{(حيث m عدد صحيح: 0، 1، 2…)}$$

✅ ثالثًا: إيجاد الفرق في المسار

من الشكل الهندسي لتجربة يونغ:

• المسافة بين الشقين = $d$
• المسافة بين الشاشة والشقين = $L$
• المسافة بين الهدب المركزي وأحد الأهداب المضيئة = $y$

وباستخدام تقريب الزاوية الصغيرة (لأن $L \gg y$):

$$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{L}$$

لكن الفرق في المسار يُعطى أيضًا بـ:

$$\delta = d \sin \theta$$

نعوّض:

$$d \sin \theta = m \lambda \Rightarrow d \cdot \frac{y}{L} = m \lambda$$

✅ رابعًا: اشتقاق الطول الموجي

نقسم الطرفين على $m$:

$$\lambda = \frac{y \cdot d}{m \cdot L}$$

وإذا أخذنا الهدب الأول (أي $m = 1$):

$$\lambda = \frac{y \cdot d}{L}$$

📌 العلاقة النهائية:

$$\lambda = \frac{y \cdot d}{L}$$

✅ دلالات الرموز:

• $\lambda$: الطول الموجي للضوء
• $y$: المسافة بين الأهداب (من الهدب المركزي إلى هدب مضيء)
• $d$: المسافة بين الشقين
• $L$: المسافة بين الشقين والشاشة

✅ ما المقصود بفاصلة الهدب؟

فاصلة الهدب $\Delta y$ هي المسافة بين مركز هدبين متتاليين (مضيئين أو مظلمين) في نمط التداخل.

✅ اشتقاق علاقة فاصلة الهدب

من شرط التداخل البنّاء:

في تجربة يونغ، موقع الهدب المضيء رقم $m$ يُعطى بالعلاقة:

$$y_m = \frac{m \lambda L}{d}$$

وللهدب الذي يليه (أي $m + 1$):

$$y_{m+1} = \frac{(m+1) \lambda L}{d}$$

نحسب فرق الموقع بين الهدبين:

$$\Delta y = y_{m+1} – y_m = \frac{(m+1) \lambda L}{d} – \frac{m \lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d}$$

✅ العلاقة النهائية لفاصلة الهدب:

$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$$

✅ دلالات الرموز:

• $\Delta y$: فاصلة الهدب (المسافة بين هدبين متتاليين)
• $\lambda$: الطول الموجي للضوء
• $L$: المسافة بين الشقين والشاشة
• $d$: المسافة بين الشقين

📌 ملاحظات مهمة:

• العلاقة صالحة للأهداب المضيئة والمظلمة على حدٍ سواء.
• كلما زاد الطول الموجي أو المسافة $L$، زادت المسافة بين الأهداب.
• كلما اقترب الشقان من بعض (صغر $d$)، زادت فاصلة الهدب.

❓ السؤال:

في حيود الضوء، فإن شرط تكون الهدب المضيء الأول (غير المركزي)، أن يكون عرض الشق مساويًا إلى:

• a) $\lambda$
• b) $\dfrac{\lambda}{2 \sin \theta}$
• c) $\dfrac{3\lambda}{2 \sin \theta}$ ✅
• d) $\dfrac{\lambda}{2}$

✅ الحل التفصيلي:

في تجربة حيود الضوء عن شق مفرد:

● شرط حدوث الحد المظلم:

$$a \sin \theta = m \lambda$$

حيث:

• $a$: عرض الشق
• $\theta$: زاوية الحيود
• $m$: ترتيب الحد المظلم (1، 2، 3…)

الهدب المضيء الأول غير المركزي:

يقع بين أول حد مظلم و ثاني حد مظلم، أي في منتصف المسافة بينهما.

• الحد المظلم الأول: $a \sin \theta = \lambda$
• الحد المظلم الثاني: $a \sin \theta = 2\lambda$

إذن، موقع الهدب المضيء بينهما يكون عند:

$$a \sin \theta = \frac{3}{2} \lambda \Rightarrow a = \frac{3\lambda}{2 \sin \theta}$$

✅ إذًا الجواب الصحيح هو:

c) $\dfrac{3\lambda}{2 \sin \theta}$

❓ السؤال (2):

تعزى ألوان فقاعات الصابون إلى ظاهرة:

a) التداخل
b) الحيود
c) الاستقطاب
d) الاستطارة

✅ الإجابة الصحيحة:

a) التداخل

🧠 الشرح:

ألوان فقاعات الصابون تنتج بسبب ظاهرة التداخل في الأغشية الرقيقة.
فعندما ينعكس الضوء عن السطحين الخارجي والداخلي لغشاء الفقاعة، يحدث تداخل بين الأشعة المنعكسة، فتتعزز بعض الألوان وتُضعف أخرى حسب الطول الموجي وسماكة الغشاء.

وهذا هو السبب في ظهور ألوان متعددة على سطح الفقاعة رغم أنها شفافة.

❓ السؤال (3):

سبب ظهور هدب مضيئة وهدب مظلمة في تجربة شقي يونغ:

a) حيود وتداخل موجات الضوء معًا
b) حيود موجات الضوء فقط
c) تداخل موجات الضوء فقط
d) استعمال مصدرين ضوئيين غير متشاكهين

✅ الإجابة الصحيحة:

a) حيود وتداخل موجات الضوء معًا

🧠 الشرح:

في تجربة شقي يونغ:

• يمر الضوء من مصدر أحادي اللون خلال شق ضيق أولًا، مما يؤدي إلى حدوث حيود.
• ثم يسقط على شقين متقاربين، كل منهما يصبح مصدرًا ثانويًا لموجات ضوئية متشاكهة.
• هذه الموجات تتداخل معًا، وينتج عن ذلك:
  • أهداب مضيئة عند التداخل البناء.
  • أهداب مظلمة عند التداخل الهدام.

✅ إذن: لا بد من الحيود أولًا ثم التداخل لظهور النمط المميز للأهداب.

❓ السؤال (4):

إذا سقط ضوء أخضر على محزز حيود، فإن الهدب المركزي يظهر باللون:

a) أصفر
b) أحمر
c) أخضر ✅
d) أبيض

✅ الإجابة الصحيحة:

c) أخضر

🧠 الشرح:

• عند سقوط ضوء أحادي اللون (مثل الأخضر) على محزز حيود، فإن:
  • الهدب المركزي يمثل أقصر فرق في المسار، وهو ناتج عن التداخل البناء لجميع الأشعة.
  • لذلك، فإن الهدب المركزي يظهر بنفس لون الضوء الساقط.

✅ بما أن الضوء الساقط أخضر، فإن الهدب المركزي سيكون أخضر أيضًا.

❓ السؤال (5):

تزداد زاوية حيود الضوء مع:

a) نقصان الطول الموجي للضوء المستعمل
b) زيادة الطول الموجي للضوء المستعمل ✅
c) ثبوت الطول الموجي للضوء المستعمل
d) كل الاحتمالات السابقة

✅ الإجابة الصحيحة:

b) زيادة الطول الموجي للضوء المستعمل

🧠 الشرح:

في حيود الضوء عن محزز أو شق مفرد، العلاقة الأساسية هي:

$$d \sin \theta = m \lambda$$

• حيث:
  • $d$: المسافة بين الشقوق (أو عرض الشق)
  • $\theta$: زاوية الحيود
  • $\lambda$: الطول الموجي للضوء
  • $m$: رتبة الهدب

🟢 إذا زاد الطول الموجي $\lambda$، يجب أن تزداد زاوية الحيود $\theta$ حتى تبقى المعادلة متوازنة.

📌 استنتاج:

• الضوء الأحمر (طوله الموجي أكبر) ينحرف أكثر من الأزرق.
• زاوية الحيود تزداد بزيادة الطول الموجي.

❓ السؤال (6):

إذا كان فرق المسار البصري بين موجتين ضوئيتين متشاكهتين متراكبتين يساوي عددًا فرديًا من أنصاف الأطوال الموجية، عندها يحصل:

a) تداخل بناء
b) استطارة
c) استقطاب
d) تداخل تلافٍ ✅

✅ الإجابة الصحيحة:

d) تداخل تلافٍ

🧠 الشرح:

في ظاهرة تداخل الضوء بين موجتين مترابطتين:

• إذا كان فرق المسار البصري بين الموجتين يساوي:

  🔹 عددًا صحيحًا من الأطوال الموجية $\Rightarrow$ تداخل بناء (هدب مضيء).
  🔹 عددًا فرديًا من أنصاف الأطوال الموجية $\Rightarrow$ تداخل تلافٍ (هدب مظلم).

🔻 أي أن شرط التداخل التلافي هو:

$$\Delta r = \left(2m + 1\right) \frac{\lambda}{2} \quad ,\quad m = 0, 1, 2, …$$

❓ السؤال (7):

للحصول على التداخل المستديم في موجات الضوء يجب أن يكون مصدرهما:

a) متشاكهين ✅
b) غير متشاكهين
c) مصدرين من الليزر
d) جميع الاحتمالات السابقة

✅ الإجابة الصحيحة:

a) متشاكهين

🧠 الشرح:

لكي يحدث تداخل ضوئي مستديم (واضح ومنتظم)، يجب أن تكون الموجتان:

1. متشاكهتين (Coherent): أي لهما نفس التردد والفرق الطوري بينهما ثابت.
2. تصدران من نفس المصدر أو مصدرين متطابقين.

🔴 إذا كانت الموجتان غير متشاكهتين، فإن التداخل سيكون متغيرًا وغير منتظم (غير مستديم).

✅ لذلك، الشرط الأساسي للتداخل المنتظم هو تشاكر المصدرين.

❓ السؤال (8):

في تجربة شقي يونغ، يحصل الهدب المضيء الأول على جانبي الهدب المركزي المضيء المتكوّن على الشاشة عندما يكون فرق المسار البصري مساويًا إلى:

a) $\frac{1}{2} \lambda$
b) $\lambda$ ✅
c) $2 \lambda$
d) $3 \lambda$

✅ الإجابة الصحيحة:

b) $\lambda$

🧠 الشرح:

في تجربة التداخل لشقي يونغ، يظهر الهدب المضيء عند التداخل البنّاء، والذي يتحقق عندما يكون فرق المسار البصري بين الموجتين:

$$\Delta r = m \lambda \quad \text{(حيث m = 0, 1, 2,…)}$$

• الهدب المركزي (عند $m = 0$) ➜ فرق المسار = 0
• الهدب المضيء الأول (عند $m = 1$) ➜ فرق المسار = $\lambda$

📌 إذًا:

الهدب المضيء الأول على جانبي الهدب المركزي يظهر عندما يكون فرق المسار البصري = $\lambda$

❓ السؤال (9):

نمط التداخل عندما يتولد يحصل:

a) انعكاس
b) انكسار
c) الحيود ✅
d) الاستقطاب

✅ الإجابة الصحيحة:

c) الحيود

🧠 الشرح:

في تجربة شقي يونغ، أو عند مرور الضوء من خلال شق ضيق، فإن الضوء:

1. يحدث له حيود عند مروره من الشق.
2. تصبح حواف الشق كمصادر ثانوية لموجات ضوئية.
3. هذه الموجات تتداخل على الشاشة وتكوّن نمط التداخل (أهداب مضيئة ومظلمة).

✅ إذن: الحيود هو ما يؤدي إلى نشوء نمط التداخل.

❓ السؤال (10):

أغشية الزيت الرقيقة وفقاعات الصابون تبدو ملونة بألوان زاهية نتيجة الانعكاس و:

a) الانكسار
b) التداخل ✅
c) الحيود
d) الاستقطاب

✅ الإجابة الصحيحة:

b) التداخل

🧠 الشرح:

• عندما يسقط الضوء على غشاء رقيق (مثل فقاعات الصابون أو طبقة الزيت):
  • ينعكس جزء من الضوء من السطح العلوي.
  • وينعكس جزء آخر من السطح السفلي للغشاء.
• هذان الشعاعان يتداخلان، وقد ينتج عنه تداخل بناء أو تداخل تلافٍ حسب فرق المسار البصري بينهما.
• يؤدي ذلك إلى تعزيز بعض الألوان وإضعاف أخرى، فنرى ألوانًا زاهية ومتلونة على سطح الغشاء.

✅ هذه الظاهرة تُعرف باسم: التداخل في الأغشية الرقيقة.

❓ السؤال (11):

الخاصية المميزة للطيف المتولد بواسطة محزز حيود تكون:

a) الخطوط المضيئة واضحة المعالم ✅
b) انتشار الخطوط المضيئة
c) انعدام الخطوط المضيئة
d) انعدام الخطوط المظلمة

✅ الإجابة الصحيحة:

a) الخطوط المضيئة واضحة المعالم

🧠 الشرح:

• عند استخدام محزز حيود لتحليل الضوء، فإنه يفرق بين الأطوال الموجية المختلفة بدقة عالية.
• كل طول موجي ينكسر بزاوية مختلفة، ما يؤدي إلى ظهور خطوط مضيئة منفصلة وواضحة على الشاشة.
• هذا يجعله أفضل من المنشور الزجاجي في تحليل الأطياف.

✅ لذلك، الخاصية المميزة للطيف الناتج عن محزز حيود هي:

“وضوح الخطوط المضيئة ودقتها”.

❓ السؤال (12):

حزمة الضوء غير مستقطب هي التي تكون تذبذب مجالاتها الكهربائية:

a) مقتصرة على مستوى واحد
b) تحصل في الاتجاهات جميعًا ✅
c) التي يمكنها المرور خلال لوح القطب
d) تحصل في اتجاهات محددة

✅ الإجابة الصحيحة:

b) تحصل في الاتجاهات جميعًا

🧠 الشرح:

• الضوء غير المستقطب هو ضوء طبيعي (مثل ضوء الشمس أو المصباح).
• فيه تهتز المجالات الكهربائية والمغناطيسية في جميع الاتجاهات العمودية على اتجاه الانتشار.
• أي لا يوجد مستوى ثابت للاهتزاز، بل جميع الاتجاهات ممكنة.

🔴 بينما في الضوء المستقطب، تقتصر الاهتزازات على اتجاه واحد فقط.

✅ إذًا، في الضوء غير المستقطب:

تتذبذب المجالات الكهربائية في جميع الاتجاهات العمودية على اتجاه الانتشار.

❓ السؤال (13):

الموجات الطولية لا يمكنها إظهار: (دور 3/2013)

a) الانكسار
b) الانعكاس
c) الحيود
d) الاستقطاب ✅

✅ الإجابة الصحيحة:

d) الاستقطاب

🧠 الشرح:

• الاستقطاب هو ظاهرة تختص بالموجات المستعرضة فقط، مثل موجات الضوء.
• أما الموجات الطولية، مثل موجات الصوت، فإن اهتزازاتها تكون في نفس اتجاه الانتشار، لذا:
  

  ❌ لا يمكن استقطابها.

✅ بينما يمكن للموجات الطولية أن تخضع للانعكاس، والانكسار، والحيود.

❓ السؤال (14):

تكون السماء زرقاء بسبب:

a) جزيئات الهواء تكون زرقاء
b) عدسة العين تكون زرقاء
c) استطارة الضوء تكون أكثر مثالية للموجات القصيرة الطول الموجي ✅
d) استطارة الضوء تكون أكثر مثالية للموجات طويلة الطول الموجي

✅ الإجابة الصحيحة:

c) استطارة الضوء تكون أكثر مثالية للموجات القصيرة الطول الموجي

🧠 الشرح:

• عندما يمر ضوء الشمس عبر الغلاف الجوي، تصطدم موجاته بجزيئات الهواء.
• يحدث استطارة (تبعثر) للضوء، وتُعرف هذه الظاهرة بـ استطارة رايلي.
• هذه الاستطارة تؤثر بشكل أكبر على الموجات القصيرة (مثل الأزرق والبنفسجي).
• وبما أن العين البشرية أكثر حساسية للون الأزرق من البنفسجي، نرى السماء زرقاء.

❓ السؤال (15):

عند إضاءة شقي يونغ بضوء أخضر طوله الموجي $5 \times 10^{-7}$ m، وكان البعد بين الشقين $1 \, \text{mm}$ وبعد الشقين عن الشاشة $2 \, \text{m}$، فإن البعد بين مركزي هدبين مضيئين متتاليين في نمط التداخل المتكوّن على الشاشة يساوي:

a) $0.1 \, \text{mm}$
b) $0.25 \, \text{mm}$
c) $0.4 \, \text{mm}$
d) $1 \, \text{mm} ✅$

✅ الحل:

نستخدم علاقة فاصلة الهدب في تجربة يونغ:

$$\Delta y = \frac{\lambda \cdot L}{d}$$

حيث:

• $\lambda = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$ (الطول الموجي)
• $L = 2 \, \text{m}$ (المسافة بين الشقين والشاشة)
• $d = 1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}$

نحسب:

$$\Delta y = \frac{(5 \times 10^{-7}) \cdot 2}{1 \times 10^{-3}} = \frac{1 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-3}} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m} = 1 \, \text{mm}$$

✅ الإجابة النهائية:

d) $1 \, \text{mm}$

❓ السؤال (2017/دور أول):

هل يمكن للضوء الصادر عن المصادر غير المتشاكهة أن يتداخل؟ وهل يوجد فارق بين المصادر المتشاكهة وغير المتشاكهة؟

✅ الجواب:

🔸 لا، لا يمكن للضوء الصادر عن المصادر غير المتشاكهة أن يتداخل تداخلًا مستقرًا وواضحًا.

🔸 الفرق بين المصادر المتشاكهة وغير المتشاكهة هو:

🧠 خلاصة مهمة:

التداخل المنتظم يتطلب وجود مصدرين متشاكهين (ثابتين في الطور والتردد).
المصادر غير المتشاكهة لا تعطي نمط تداخل واضح.