فيزياء السادس – حل مسائل من الكتاب – المجموعة الثالثة

📘 السؤال (مسائل الكتاب):

مكثفتان $C_1 = 9\,\mu F$، $C_2 = 18\,\mu F$ من ذوات صفائح متوازية مربوطتان مع بعضهما على التوالي، وربطت مجموعتهما مع قطبي فرق جهد كهربائي $12\,V$.

1) احسب مقدار فرق الجهد بين صفيحتي كل متسعة والطاقة المختزنة فيها؟
2) إذا أُدخل لوح عازل كهربائي ثابت عزله $K = 4$ بين صفيحتي المتسعة الأولى (مع بقاء البطارية مربوطة)، فما مقدار فرق الجهد بين صفيحتي كل متسعة والطاقة المختزنة بعد إدخال العازل؟

✅ الحل:

أولاً: قبل إدخال العازل

1. السعة المكافئة:

$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2 + 1}{18} = \frac{3}{18} \Rightarrow C_{eq} = \frac{18}{3} = 6\,\mu F$$

2. الشحنة الكلية:

$$Q = C_{eq} \cdot V = 6 \cdot 12 = 72\,\mu C$$

(نفس الشحنة تمر بكل مكثفة لأنها متصلة على التوالي)

3. فرق الجهد على كل متسعة:

$$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{72}{9} = 8\,V$$ $$V_2 = \frac{72}{18} = 4\,V$$

4. الطاقة المختزنة في كل متسعة:

$$E = \frac{1}{2} C V^2$$

• $E_1 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot (8)^2 = 4.5 \cdot 64 = 288\,\mu J$
• $E_2 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (4)^2 = 9 \cdot 16 = 144\,\mu J$

ثانيًا: بعد إدخال العازل في المتسعة الأولى فقط (K = 4)

1. حساب السعة الجديدة:

• $C_1′ = K \cdot C_1 = 4 \cdot 9 = 36\,\mu F$
• $C_2$ تبقى كما هي = $18\,\mu F$

2. السعة المكافئة الجديدة:

$$\frac{1}{C_{eq}’} = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} = \frac{1 + 2}{36} = \frac{3}{36} \Rightarrow C_{eq}’ = \frac{36}{3} = 12\,\mu F$$

3. الشحنة الكلية الجديدة:

$$Q’ = C_{eq}’ \cdot V = 12 \cdot 12 = 144\,\mu C$$

4. فرق الجهد على كل متسعة بعد إدخال العازل:

• $V_1′ = \frac{144}{36} = 4\,V$
• $V_2′ = \frac{144}{18} = 8\,V$

✅ لاحظ التبدل! قبل العازل:

• $V_1 = 8\,V$، $V_2 = 4\,V$
  بعد العازل:
• $V_1′ = 4\,V$، $V_2′ = 8\,V$

5. الطاقة المختزنة بعد إدخال العازل:

• $E_1′ = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot (4)^2 = 18 \cdot 16 = 288\,\mu J$
• $E_2′ = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (8)^2 = 9 \cdot 64 = 576\,\mu J$

📊 النتائج النهائية:

✅ قبل إدخال العازل:

✅ بعد إدخال العازل:

📘 السؤال (من الكتاب):

مكثفتان $C_1 = 4\,\mu F$، $C_2 = 8\,\mu F$ مربوطتان على التوازي.
فإذا شحنت مجموعتهما بشحنة كلية $Q = 600\,\mu C$ بواسطة مصدر للفولتية المستمرة ثم فُصلت عنه:

1) احسب مقدار الشحنة المختزنة في كل من المتسعتين والطاقة المختزنة فيها.
2) إذا أُدخل لوح من مادة عازلة كهربائيًا ثابت عزله $K = 2$ بين صفيحتي المتسعة الثانية، فما مقدار الشحنة المختزنة والطاقة وفرق الجهد على كل متسعة بعد إدخال العازل؟
ملاحظة: لا تغير قيم السعات إلا في المتسعة الثانية فقط.

✅ الحل:

أولًا: قبل إدخال العازل

1. توزيع الشحنة في التوازي:

في التوصيل على التوازي:

• فرق الجهد متساوي على جميع المكثفات.
• الشحنة تتوزع حسب السعة:

$$Q_1 = \frac{C_1}{C_1 + C_2} \cdot Q_{\text{كلية}} = \frac{4}{12} \cdot 600 = 200\,\mu C$$ $$Q_2 = \frac{8}{12} \cdot 600 = 400\,\mu C$$

2. فرق الجهد (متساوٍ على الجميع):

$$V = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{200}{4} = 50\,V$$

(يُطابق أيضًا: $V = \frac{400}{8} = 50\,V$)

3. الطاقة المختزنة:

$$E = \frac{1}{2} C V^2$$

• $E_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 50^2 = 2 \cdot 2500 = 5000\,\mu J$
• $E_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 50^2 = 4 \cdot 2500 = 10000\,\mu J$

ثانيًا: بعد إدخال العازل في المتسعة الثانية (K = 2)

✅ مهم: بعد فصل المصدر، الشحنة الكلية تبقى محفوظة ولا تتغير.

1. السعة الجديدة:

• $C_2′ = 2 \cdot 8 = 16\,\mu F$
• $C_1 = 4\,\mu F$ تبقى كما هي.

2. السعة الكلية الجديدة:

$$C_{eq}’ = C_1 + C_2′ = 4 + 16 = 20\,\mu F$$

3. الجهد الجديد على المجموعة:

$$V’ = \frac{Q_{\text{كلية}}}{C_{\text{eq}}’} = \frac{600}{20} = 30\,V$$

4. الشحنة الجديدة على كل متسعة:

• $Q_1′ = C_1 \cdot V’ = 4 \cdot 30 = 120\,\mu C$
• $Q_2′ = C_2′ \cdot V’ = 16 \cdot 30 = 480\,\mu C$

✅ تحقق: $Q_1′ + Q_2′ = 120 + 480 = 600\,\mu C$ ✅

5. الطاقة الجديدة:

• $E_1′ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 30^2 = 2 \cdot 900 = 1800\,\mu J$
• $E_2′ = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30^2 = 8 \cdot 900 = 7200\,\mu J$

📊 النتائج النهائية:

✅ قبل إدخال العازل:

✅ بعد إدخال العازل في $C_2$: