قانون دي برولي و مسائل المجموعة الاولى الجزء الاول – فيزياء

🌊 الموجات المادية وقانون دي برولي

✅ ما المقصود بالموجات المادية؟

الموجات المادية هي فكرة فيزيائية تقترح أن الجسيمات المادية مثل الإلكترونات والبروتونات يمكن أن تتصرف كموجات أيضًا، وليس فقط كجسيمات صلبة.

هذه الفكرة تُعرف بـ الازدواجية الموجية-الجسيمية (Wave-Particle Duality)، وهي إحدى الأسس الجوهرية في ميكانيكا الكم.

🧠 من هو دي برولي وماذا قال؟

لويس دي برولي (Louis de Broglie) هو فيزيائي فرنسي، اقترح عام 1924 أن كل جسيم مادي متحرك له طول موجي يرتبط بكمية حركته، تمامًا كما للضوء خصائص موجية.

🔬 قانون دي برولي:

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$

• $\lambda$: الطول الموجي للموجة المرتبطة بالجسيم
• $h$: ثابت بلانك $(6.63 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s})$
• $p$: كمية الحركة (الزخم) = الكتلة × السرعة
• $m$: كتلة الجسيم
• $v$: سرعته

🔎 ماذا تعني هذه المعادلة؟

• كل جسيم له موجة مرتبطة به.
• كلما زادت كتلة الجسيم أو سرعته، قلّ طوله الموجي.
• الإلكترونات (كتلتها صغيرة) لها طول موجي يمكن ملاحظته، بخلاف الأجسام الكبيرة.

🧪 تجربة تؤكد وجود الموجات المادية

تم إثبات وجود الطبيعة الموجية للإلكترونات من خلال تجربة الحيود (الانعراج)، حيث وُجد أن الإلكترونات عند مرورها من خلال بلورة (مثل الجرافيت)، تتكون أنماط حيود وتداخل تشبه تمامًا تلك التي يصنعها الضوء.

✅ هذا دليل تجريبي أن الإلكترون يسلك سلوك الموجات!

🧩 الفرق بين الموجات المادية والموجات الكهرومغناطيسية

📌 أهمية قانون دي برولي

• ساعد على فهم بنية الذرة بشكل أفضل.
• قاد إلى تطوير ميكانيكا الكم ونظرية شرودنغر.
• أدّى إلى ظهور مفاهيم مثل مدارات الإلكترونات كموجات ثابتة.
• أساس لفهم المجاهر الإلكترونية التي تستخدم حيود الإلكترونات.

💡 أمثلة تطبيقية على الموجات المادية

1. حيود الإلكترونات في تجارب البلورات.
2. المجهر الإلكتروني الذي يعتمد على موجات الإلكترونات لرؤية أجسام دقيقة جدًا.
3. تفسير مستويات الطاقة في الذرة بأن الإلكترونات لا تدور في مدارات كلاسيكية، بل كموجات ثابتة.

❓السؤال:

جد طول موجة دي برولي المرافقة لكرة كتلتها $0.221 \, kg$ تتحرك بسرعة $3 \, m/s$، علمًا أن $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$؟

✅ الحل:

نستخدم قانون دي برولي لحساب الطول الموجي:

$$\lambda = \frac{h}{mv}$$

حيث:

• $\lambda$: الطول الموجي المطلوب
• $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
• $m = 0.221 \, kg$
• $v = 3 \, m/s$

🔢 التعويض في القانون:

$$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.221 \times 3}$$ $$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.663}$$ $$\lambda \approx 1 \times 10^{-33} \, m$$

✨ الناتج النهائي:

$$\lambda \approx 1 \times 10^{-33} \, \text{متر}$$

إذن، الطول الموجي المصاحب للكرة صغير جدًا، ولا يمكن ملاحظته عمليًا.

❓السؤال:

افترض أن ثابت بلانك أصبح $66 \, J \cdot s$، كم سيكون طول موجة دي برولي المرافقة لشخص كتلته $80 \, kg$ ويجري بسرعة $1.1 \, m/s$؟

✅ الحل:

نستخدم قانون دي برولي لحساب الطول الموجي:

$$\lambda = \frac{h}{mv}$$

حيث:

• $h = 66 \, J \cdot s$
• $m = 80 \, kg$
• $v = 1.1 \, m/s$

🔢 التعويض في القانون:

$$\lambda = \frac{66}{80 \times 1.1} = \frac{66}{88} = 0.75 \, m$$

✨ الناتج النهائي:

$$\lambda = 0.75 \, \text{متر}$$

إذن، إذا أصبح ثابت بلانك كبيرًا كما في السؤال، فإن الموجات المرافقة للأجسام الكبيرة مثل الإنسان تصبح قابلة للرصد.

❓السؤال:

فوتون طوله الموجي $3 \, nm$، احسب مقدار زخمه؟

✅ الحل:

نستخدم قانون الزخم للفوتون (المستمد من قانون دي برولي):

$$p = \frac{h}{\lambda}$$

🧾 المعطيات:

• $\lambda = 3 \, nm = 3 \times 10^{-9} \, m$
• $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$

🔢 التعويض:

$$p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3 \times 10^{-9}} = 2.21 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$$

✨ الناتج النهائي:

$$\boxed{p = 2.21 \times 10^{-25} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}$$

إذن، الزخم الذي يحمله هذا الفوتون صغير جدًا لكنه مهم في الظواهر الكمية مثل التأثير الكهروضوئي وحيود الإلكترونات.

❓السؤال:

جد انطلاق الإلكترون الذي يجعل طول موجة دي برولي المرافقة له مساوية لطول موجة أشعة سينية ترددها $3.25 \times 10^{17} \, Hz$؟

✅ الحل:

لحساب سرعة الإلكترون، نبدأ أولًا بحساب الطول الموجي للأشعة السينية، لأننا نريد أن يكون طول موجة دي برولي مساويًا له.

الخطوة (1): حساب الطول الموجي للأشعة السينية

نستخدم العلاقة:

$$\lambda = \frac{c}{f}$$

• $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ (سرعة الضوء)
• $f = 3.25 \times 10^{17} \, Hz$

$$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{3.25 \times 10^{17}} = 9.23 \times 10^{-10} \, m$$

الخطوة (2): استخدام قانون دي برولي لإيجاد سرعة الإلكترون

$$\lambda = \frac{h}{mv} \Rightarrow v = \frac{h}{m \lambda}$$

• $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
• $m = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$ (كتلة الإلكترون)
• $\lambda = 9.23 \times 10^{-10} \, m$

$$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 9.23 \times 10^{-10}}$$ $$v \approx \frac{6.63 \times 10^{-34}}{8.41 \times 10^{-40}} \approx 7.88 \times 10^5 \, m/s$$

✨ الناتج النهائي:

$$\boxed{v \approx 7.88 \times 10^5 \, \text{m/s}}$$

إذن، يجب أن ينطلق الإلكترون بسرعة تقريبية قدرها $7.88 \times 10^5$ متر/ثانية ليكون له طول موجي مساوٍ لطول موجة أشعة سينية بتردد $3.25 \times 10^{17} \, Hz$.