مسائل التوالي – السؤال الخامس – الفيزياء الفصل الثالث

✍️ نص السؤال:

كتاب / دائرة تيار متناوب متوالية الربط فيها ملف مقاومته (10Ω)، ومعامل حثه الذاتي (0.5H) ومقاومة صرف 20Ω ومتسعة ذات سعة صرف، ومصدر للفولتية المتناوبة تردده $\frac{100}{\pi} \, Hz$، وفرق الجهد بين طرفيه (200V)، كان مقدار عامل القدرة فيها (0.6).

أحسب مقدار:

1. التيار $I$
2. سعة المتسعة $C$
3. ارسم مخطط الممانعة وأحسب زاوية فرق الطور بين $V$ و $I$

✅ المعطيات:

• $R_{\text{ملف}} = 10 \, \Omega$
• $R_{\text{صرف}} = 20 \, \Omega$
• إذًا:

  $$R = 10 + 20 = 30 \, \Omega$$

• $L = 0.5 \, H$
• $f = \frac{100}{\pi} \, Hz \Rightarrow \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot \frac{100}{\pi} = 200 \, rad/s$
• $V = 200 \, V$
• $PF = \cos \phi = 0.6$

✅ الحل:

(1) حساب التيار $I$:

أولًا نحسب الزاوية:

$$\phi = \cos^{-1}(0.6) \approx 53.13^\circ$$

ثم نستخدم قانون:

$$P = V \cdot I \cdot \cos\phi \Rightarrow I = \frac{P}{V \cdot \cos\phi}$$

لكن لا توجد قدرة معطاة، لذا نحسب الممانعة أولًا:

$$\cos \phi = \frac{R}{Z} \Rightarrow Z = \frac{R}{\cos \phi} = \frac{30}{0.6} = 50 \, \Omega$$

ثم:

$$I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{50} = 4 \, A$$

(2) حساب سعة المتسعة $C$:

نحسب أولًا:

• $X_L = \omega L = 200 \cdot 0.5 = 100 \, \Omega$
• من فيثاغورس:

$$X = \sqrt{Z^2 – R^2} = \sqrt{50^2 – 30^2} = \sqrt{2500 – 900} = \sqrt{1600} = 40 \, \Omega$$

لأن الدائرة سعوية (التيار متقدّم لأن PF < 1)، إذًا:

$$X_C = X_L + X = 100 + 40 = 140 \, \Omega$$ $$X_C = \frac{1}{\omega C} \Rightarrow C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{200 \cdot 140} = \frac{1}{28000} \approx 35.7 \times 10^{-6} \, F = 35.7 \, \mu F$$

(3) زاوية فرق الطور + مخطط الممانعة:

• $\phi = 53.13^\circ$ (بما أن PF = 0.6)
• المخطط مثلث ممانعة:
  • R = 30 Ω
  • فرق الممانعة بين $X_C$ و $X_L$ = 40 Ω (سعوي)
  • Z = 50 Ω
  • الزاوية $\phi = 53.13^\circ$

✅ النتائج النهائية:

✍️ نص السؤال (واجب 2 / 2016):

دائرة تيار متناوب تحتوي محث ومقاومة (30Ω) ومتسعة صرف ومصدر للفولتية المتناوبة تردده (50Hz)، وفرق الجهد بين طرفيه (100V)، وكان مقدار القدرة الحقيقية (120W)، ومقدار رادة الحث (160Ω).

الدائرة خصائصها سعوية. احسب:

1. مقدار التيار الكلي $I$
2. سعة المتسعة $C$
3. زاوية فرق الطور مع رسم مخطط طوري للممانعة

✅ المعطيات:

• $R = 30 \, \Omega$
• $X_L = 160 \, \Omega$
• $f = 50 \, Hz \Rightarrow \omega = 2\pi f = 314.16 \, rad/s$
• $V = 100 \, V$
• $P_{real} = 120 \, W$

✅ الحل:

(1) حساب التيار الكلي $I$:

من قانون القدرة الحقيقية:

$$P = V \cdot I \cdot \cos\phi \Rightarrow I = \frac{P}{V \cdot \cos\phi}$$

لكن لا نعرف $\cos\phi$، فنستخدم قانون:

$$P = I^2 R \Rightarrow I = \sqrt{\frac{P}{R}} = \sqrt{\frac{120}{30}} = \sqrt{4} = 2 \, A$$

(2) حساب سعة المتسعة $C$:

نحسب أولًا:

• $Z = \frac{V}{I} = \frac{100}{2} = 50 \, \Omega$
• ثم نحسب الممانعة التفاعلية:

  $$X = \sqrt{Z^2 – R^2} = \sqrt{50^2 – 30^2} = \sqrt{2500 – 900} = \sqrt{1600} = 40 \, \Omega$$

بما أن الدائرة سعوية، إذًا:

$$X_C = X_L + X = 160 + 40 = 200 \, \Omega$$

نحسب السعة:

$$X_C = \frac{1}{\omega C} \Rightarrow C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{314.16 \cdot 200} = \frac{1}{62832} \approx 15.91 \times 10^{-6} \, F = 15.91 \, \mu F$$

(3) زاوية فرق الطور + رسم المخطط الطوري:

• نحسب الزاوية:

$$\tan\phi = \frac{X}{R} = \frac{40}{30} = 1.333 \Rightarrow \phi = \tan^{-1}(1.333) \approx 53.13^\circ$$

✅ المخطط الطوري:

مثلث ممانعة:

• القاعدة: $R = 30 \, \Omega$
• الارتفاع: $X = 40 \, \Omega$ (سعوي)
• الوتر: $Z = 50 \, \Omega$
• الزاوية بين Z و R هي: $\phi = 53.13^\circ$

✅ النتائج النهائية:

✍️ نص السؤال (1 / 2013 خ ق):

س / دائرة تيار متناوب متوالية الربط تحتوي على ملف مقاومته (30Ω)، ومعامل الحث الذاتي له $L = \frac{1.6}{\pi} \, H$، ومتسعة ذات سعة صرف، ومصدر للفولتية المتناوبة تردده $50 \, Hz$، وفرق الجهد بين طرفيه $100 \, V$، وكان عامل القدرة فيها (0.6). والدائرة خواصها سعوية.

احسب:

1. مقدار التيار في الدائرة
2. سعة المتسعة

✅ المعطيات:

• $R = 30 \, \Omega$
• $L = \frac{1.6}{\pi} \, H$
• $f = 50 \, Hz \Rightarrow \omega = 2\pi f = 314.16 \, rad/s$
• $V = 100 \, V$
• $PF = \cos \phi = 0.6$
• الدائرة سعوية

✅ الحل:

أولًا: حساب الممانعة $Z$:

$$Z = \frac{R}{\cos\phi} = \frac{30}{0.6} = 50 \, \Omega$$

(1) التيار في الدائرة $I$:

$$I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{50} = 2 \, A$$

(2) حساب سعة المتسعة $C$:

نحسب أولاً $X_L$:

$$X_L = \omega L = 314.16 \cdot \frac{1.6}{\pi} = 314.16 \cdot \frac{1.6}{3.1416} = 314.16 \cdot 0.509 \approx 160 \, \Omega$$

نحسب المركبة التفاعلية الكلية (من مثلث الممانعة):

$$X = \sqrt{Z^2 – R^2} = \sqrt{50^2 – 30^2} = \sqrt{2500 – 900} = \sqrt{1600} = 40 \, \Omega$$

بما أن الدائرة سعوية، فإن:

$$X_C = X_L + X = 160 + 40 = 200 \, \Omega$$

وأخيرًا نحسب السعة:

$$X_C = \frac{1}{\omega C} \Rightarrow C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{314.16 \cdot 200} = \frac{1}{62832} \approx 15.91 \times 10^{-6} \, F = 15.91 \, \mu F$$

✅ النتائج النهائية: